第八講：行星際軌道設計

引言

行星際軌道設計是探索太陽系的核心技術，它涉及如何規劃和優化航天器從一個天體到另一個天體的飛行路徑。隨著人類探索太陽系的雄心不斷擴大，從最初的月球探測到火星探測，再到更遙遠的外太陽系探測，行星際軌道設計技術也在不斷發展和完善。本講將帶領大家深入理解行星際軌道設計的基本原理、關鍵技術和前沿方法。

行星際軌道與近地軌道有著本質的區別。近地軌道主要考慮地球引力場，而行星際軌道則需要考慮太陽引力場、目標行星引力場以及其他天體的引力干擾。此外，由于行星際距離遙遠，推進劑的限制成為設計行星際軌道的關鍵約束條件，這促使科學家和工程師發展出一系列創新的節能技術，如霍曼轉移軌道、引力助推和低能量軌道等。

在本講中，我們將首先介紹行星際轉移軌道的基礎知識，包括太陽系動力學環境、霍曼轉移和雙曲線逃逸軌道；然后深入探討引力助推這一革命性技術，它如何利用行星引力場來改變航天器軌道；接著討論深空機動的原理和策略；最后展望現代行星際軌道設計的趨勢與挑戰。通過本講的學習，你將能夠理解人類如何克服巨大的太陽系尺度挑戰，實現星際間的高效飛行。

1. 行星際轉移軌道基礎

在前面幾講中，我們主要關注地球衛星軌道的設計與分析。隨著人類探索宇宙的步伐不斷擴大，我們的視野已經擴展到整個太陽系。行星際飛行是人類探索太陽系的重要手段，而行星際軌道設計則是實現這一目標的關鍵技術。本講將帶領大家逐步理解行星際軌道設計的基本原理、核心技術和前沿方法。

1.1 太陽系動力學環境

在研究行星際軌道之前，我們需要先了解太陽系的動力學環境。太陽系是一個以太陽為中心，由八大行星、矮行星、衛星、小行星和彗星等天體組成的龐大系統。在這個系統中，太陽占據了絕大部分質量（約占整個太陽系質量的99.86%），因此在研究行星際飛行時，我們通常首先考慮太陽引力場的影響。

太陽系中的行星繞太陽運行的軌道近似為橢圓，遵循開普勒三定律：

1. 行星繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上
2. 行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積
3. 行星繞太陽運行的周期的平方與其軌道半長軸的立方成正比

這些定律是我們設計行星際軌道的基礎。在實際的軌道設計中，我們通常以太陽為中心建立日心慣性坐標系，使用軌道六要素來描述航天器在太陽系中的運動。太陽系內各行星的軌道根數如下表所示：

行星	半長軸(AU)	偏心率	軌道傾角(°)	升交點赤經(°)	近日點幅角(°)	軌道周期(年)
水星	0.387	0.206	7.00	48.33	77.46	0.241
金星	0.723	0.007	3.39	76.68	131.53	0.615
地球	1.000	0.017	0.00	-	102.94	1.000
火星	1.524	0.093	1.85	49.57	336.04	1.881
木星	5.203	0.048	1.31	100.56	14.75	11.86
土星	9.537	0.054	2.49	113.71	92.43	29.46
天王星	19.191	0.047	0.77	74.22	170.96	84.01
海王星	30.069	0.009	1.77	131.72	44.97	164.79

在行星際軌道設計中，我們需要充分考慮這些行星的運動特性，以便選擇合適的發射窗口和飛行路徑。

1.2 霍曼轉移軌道

霍曼轉移軌道是行星際轉移中最基本、也是能量最優的橢圓轉移軌道。1925年，德國工程師瓦爾特·霍曼（Walter Hohmann）首次提出了這一概念，因此以他的名字命名。霍曼轉移軌道的基本原理是：將起始行星和目標行星的軌道近似為共面圓軌道，然后設計一個半長軸等于兩個行星軌道半徑平均值的橢圓軌道，使其與起始行星軌道和目標行星軌道相切。

具體來說，假設起始行星軌道半徑為$r_1$，目標行星軌道半徑為$r_2$（$r_2>r_1$），則霍曼轉移軌道的半長軸為：

$$a=\frac{r_1+r_2}{2}$$

霍曼轉移軌道的偏心率為：

$$e=\frac{r_2?r_1}{r_2+r_1}$$

霍曼轉移軌道的周期為：

$$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{{\mu }_{\odot }}}$$

其中，${\mu }_{\odot }=1.327\times 10^{20}{m}^3/s^2$是太陽的引力常數。

霍曼轉移軌道需要進行兩次主要的速度變化：一次是在起始行星軌道上實施第一次速度增量$\Delta v_1$，將航天器送入霍曼轉移軌道；另一次是在到達目標行星軌道時實施第二次速度增量$\Delta v_2$，使航天器進入目標行星軌道。

第一次速度增量的大小為：

$$\Delta v_1=\sqrt{\frac{{\mu }_{\odot }}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}?1\right)$$

第二次速度增量的大小為：

$$\Delta v_2=\sqrt{\frac{{\mu }_{\odot }}{r_2}}\left(1?\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right)$$

總速度增量為：

$$\Delta v_{total}=|\Delta v_1|+|\Delta v_2|$$

實際上，霍曼轉移軌道的飛行時間為半個周期，即：

$$t_{flight}=\pi \sqrt{\frac{a^3}{{\mu }_{\odot }}}$$

以地火轉移為例，地球軌道半徑約為1天文單位（AU），火星軌道半徑約為1.524 AU。使用霍曼轉移軌道，半長軸$a=(1+1.524)/2=1.262\text{?AU}$，飛行時間約為259天。

值得注意的是，霍曼轉移軌道雖然能量最優，但飛行時間相對較長。在實際任務中，我們常常需要權衡能量消耗和飛行時間，有時會選擇非霍曼轉移軌道以縮短飛行時間。

1.3 雙曲線逃逸軌道

當航天器需要離開一個行星的引力場進入行星際空間時，必須達到或超過該行星的逃逸速度。逃逸速度是指物體擺脫天體引力束縛所需的最小初始速度，對于距離行星中心為$r$的位置，逃逸速度為：

$$v_{esc}=\sqrt{\frac{2\mu }{r}}$$

其中，$\mu$是行星的引力常數。例如，地球表面的逃逸速度約為11.2 km/s。

當航天器速度超過逃逸速度時，其相對于行星的軌道將成為雙曲線軌道。雙曲線軌道是一種開放軌道，航天器沿此軌道飛行將永遠不會返回起點。在行星際飛行中，航天器通常首先進入圍繞發射行星的停泊軌道，然后實施逃逸機動，進入雙曲線軌道離開行星引力場。

雙曲線軌道的數學描述如下：在極坐標系中，軌道方程為：

$$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

其中，$p$是半通徑，$e$是偏心率（對于雙曲線軌道，$e>1$），$\theta$是真近點角。

雙曲線軌道的能量為正值：

$$\epsilon =\frac{v^2}{2}?\frac{\mu }{r}>0$$

雙曲線軌道的半長軸$a$為負值，與能量的關系為：

$$\epsilon =?\frac{\mu }{2a}$$

雙曲線軌道的近點距離為：

$$r_p=a(e?1)$$

雙曲線軌道的漸近線與行星中心連線的夾角（稱為轉向角）為：

$$\delta =2\arcsin \left(\frac{1}{e}\right)$$

在行星際發射任務設計中，我們需要精確計算航天器的逃逸軌道參數，以確保其正確地進入預定的行星際轉移軌道。通常，我們需要考慮以下因素：

1. 發射位置和時間：決定了地球（或其他發射行星）在太陽系中的位置
2. 目標行星的位置和時間：決定了目標行星在任務執行期間的位置
3. 轉移軌道類型：如霍曼轉移軌道或其他類型的轉移軌道
4. 發射能量約束：由運載火箭的能力決定
5. 任務約束：如飛行時間、到達速度等

下面我們來詳細分析地球到火星的發射窗口問題。由于地球和火星分別以不同的周期圍繞太陽運行，它們之間的相對位置不斷變化。理想的發射時機是當地球和火星處于特定的相位角關系時，這樣可以最小化所需的能量。

對于霍曼轉移軌道，地球和火星之間的最優相位角約為44°，即當火星在其軌道上領先地球約44°時發射，航天器將在轉移軌道飛行半周期后正好與火星相遇。這種理想的相位關系大約每26個月出現一次，這就是我們常說的"火星發射窗口"。

例如，2020年7月至8月是一個火星發射窗口，NASA的"毅力號"火星車、中國的"天問一號"和阿聯酋的"希望號"都在此期間發射。下一個較好的發射窗口將在2022年9月至10月出現。

2. 引力助推技術

引力助推是現代行星際探測任務中一項極其重要的技術，它允許航天器利用行星的引力場改變自身的速度和方向，從而節省大量推進劑。引力助推技術的發明者是美國噴氣推進實驗室（JPL）的科學家Michael Minovitch，他在20世紀60年代提出了這一概念。隨后，這一技術在先驅者10號、旅行者1號和2號等多個深空探測任務中得到了成功應用。

2.1 引力助推原理

引力助推的核心原理基于天體力學中的三體問題。當航天器接近一個行星時，它將受到行星引力的作用而改變軌道。在行星參考系中，航天器的速度矢量方向會發生變化，但速度大小基本保持不變（忽略大氣阻力等因素）。然而，如果我們從太陽參考系觀察，航天器的速度不僅改變了方向，還可能增加或減少了大小。

從行星參考系來看，這是一個彈性散射過程。航天器接近行星時的速度矢量為${\vec{v}}_{in}$，離開行星時的速度矢量為${\vec{v}}_{out}$，它們的大小相等，但方向不同：

$$|{\vec{v}}_{in}|=|{\vec{v}}_{out}|$$

轉向角$\delta$由行星引力場和航天器近點距離決定：

$$\delta =2\arcsin \left(\frac{1}{1+\frac{r_p{v}_{\infty }^2}{\mu }}\right)$$

其中，$r_p$是近點距離，$v_{\infty }$是航天器接近行星時的相對速度（也稱為超速度），$\mu$是行星的引力常數。

從太陽參考系看，行星以速度${\vec{v}}_p$圍繞太陽運行。航天器接近行星前在太陽參考系中的速度為${\vec{v}}_1$，離開行星后的速度為${\vec{v}}_2$。它們與行星參考系中的速度關系為：

$${\vec{v}}_{in}={\vec{v}}_1?{\vec{v}}_p$$
$${\vec{v}}_{out}={\vec{v}}_2?{\vec{v}}_p$$

由于$|{\vec{v}}_{in}|=|{\vec{v}}_{out}|$，但方向不同，因此${\vec{v}}_2$與${\vec{v}}_1$的大小通常不同。當${\vec{v}}_{out}$的方向與${\vec{v}}_p$大致相同時，航天器獲得最大的速度增量；當${\vec{v}}_{out}$的方向與${\vec{v}}_p$大致相反時，航天器的速度將減小。

速度的變化量可以表示為：

$$\Delta v=2v_{\infty }\sin \left(\frac{\delta }{2}\right)\cos \beta$$

其中，$\beta$是入射速度${\vec{v}}_{in}$與行星速度${\vec{v}}_p$之間的夾角。

舉個例子，旅行者2號探測器于1977年發射，通過依次飛越木星、土星、天王星和海王星，完成了對太陽系外行星的探測。如果沒有引力助推，這一任務將需要難以想象的推進劑量和發射能量。通過木星引力助推，旅行者2號獲得了約10 km/s的速度增量，這相當于在地球軌道上使用約350噸推進劑才能實現的速度變化。

2.2 多重引力助推

單次引力助推可以顯著改變航天器的軌道，而多重引力助推則可以實現更復雜的軌道設計目標。多重引力助推是指航天器依次飛越多個行星或多次飛越同一行星，從而獲得更大的軌道變化。這種技術在木衛二探測器、卡西尼-惠更斯探測器、信使號和新視野號等多個深空任務中得到了廣泛應用。

設計多重引力助推軌道是一個復雜的優化問題，需要考慮以下因素：

1. 行星的相對位置和運動
2. 每次飛越的時間間隔
3. 每次飛越的近點距離和方向
4. 任務約束條件（如總飛行時間、最終軌道要求等）

常見的多重引力助推軌道類型包括：

VEEGA（Venus-Earth-Earth Gravity Assist）：這種軌道首先飛越金星，然后兩次飛越地球。伽利略探測器使用了這種軌道前往木星。

VVEJGA（Venus-Venus-Earth-Jupiter Gravity Assist）：這種軌道依次飛越金星（兩次）、地球和木星。卡西尼-惠更斯探測器使用了這種軌道前往土星。

以卡西尼-惠更斯探測器為例，它的飛行軌道如下：

1. 1997年10月15日：從地球發射
2. 1998年4月26日：第一次金星飛越（V1）
3. 1999年6月24日：第二次金星飛越（V2）
4. 1999年8月18日：地球飛越（E）
5. 2000年12月30日：木星飛越（J）
6. 2004年7月1日：到達土星系統

這一復雜的軌道設計使得卡西尼探測器能夠攜帶足夠的科學儀器前往土星，而如果僅依靠化學推進系統的直接轉移，將無法實現這一任務。

多重引力助推軌道的設計通常采用"補丁圓錐"（Patched Conic）方法，即將整個軌道分解為一系列兩體問題。在每個行星的影響球內，考慮航天器與該行星的兩體運動；在行星影響球外，考慮航天器與太陽的兩體運動。這種方法雖然是近似的，但在許多情況下能提供足夠準確的初步軌道設計。

近年來，隨著計算機技術的發展，更復雜的多重引力助推軌道設計方法也得到了應用，如直接數值優化、進化算法和低推力軌道設計等。這些方法能夠更充分地利用行星的引力場，設計出更加高效的行星際軌道。

2.3 引力助推工程實現

在實際工程中實現引力助推需要極高的軌道預測和控制精度。一方面，航天器需要精確地飛越行星的特定位置，以獲得預期的引力效應；另一方面，航天器必須避免與行星或其衛星相撞，或進入危險的輻射區域。

引力助推的工程實現主要涉及以下環節：

1. 軌道設計：確定飛越序列、飛越時間和近點參數
2. 導航定位：精確測定航天器的實時位置和速度
3. 軌道修正：進行中途修正機動，確保航天器按計劃飛越目標天體
4. 近點控制：在接近行星時進行精確控制，確保按預定軌道飛越

以旅行者2號為例，在其飛越土星的過程中，工程師需要控制航天器在距離土星表面約101,000公里處飛越，偏差不能超過300公里。這需要極其精確的導航和控制。

在引力助推過程中，還需要考慮各種攝動因素，如：

• 行星非球形引力場的影響
• 行星大氣的阻力（如果飛越高度較低）
• 太陽光壓
• 行星衛星的引力干擾
• 太陽風和行星磁場對航天器的影響

這些因素都可能導致航天器的實際軌道偏離預期，因此需要進行精確的軌道預測和必要的修正。

3. 深空機動

深空機動是指航天器在太陽引力場中進行的軌道變更操作，通常發生在遠離任何大型天體的空間區域。與引力助推不同，深空機動主要依靠航天器自身的推進系統來改變軌道參數。在長期的行星際任務中，深空機動是調整航天器軌道、精確控制到達時間和位置的重要手段。

3.1 深空機動原理

深空機動的基本原理是通過點火發動機產生推力，改變航天器的速度矢量，從而調整軌道。根據點火方向和持續時間的不同，可以改變軌道的不同參數。

深空機動的主要類型包括：

1. 平面內機動：改變軌道在本平面內的形狀和尺寸

   • 近日點/遠日點機動：改變軌道的偏心率和半長軸
   • 相位調整機動：改變航天器在軌道上的位置

2. 平面外機動：改變軌道平面的方向

   • 傾角改變機動：改變軌道平面與參考平面的夾角
   • 升交點移動機動：改變軌道面與參考平面的交線方向

從軌道力學的角度看，深空機動可以看作是對航天器速度矢量的瞬時改變。假設機動前后的速度矢量分別為${\vec{v}}_1$和${\vec{v}}_2$，則所需的速度變化為：

$$\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2?{\vec{v}}_1$$

機動所需的推進劑質量可以通過火箭方程計算：

$$m_p=m_0\left(1?e^{?\Delta v/v_e}\right)$$

其中，$m_p$是推進劑質量，$m_0$是機動前航天器總質量，$v_e$是推進系統的有效排氣速度。

在實際的深空機動中，由于推力有限，點火時間可能較長，因此不能簡單地視為瞬時速度變化。在這種情況下，需要考慮有限推力下的軌道變化，這通常需要數值積分方法求解。

對于使用電推進系統的航天器，由于推力很小但比沖很高，通常采用連續推力的策略進行軌道轉移，這種情況下的軌道設計更為復雜，需要使用最優控制理論和數值方法。

3.2 深空機動策略

在行星際任務中，深空機動常用于以下目的：

1. 軌道修正：修正發射偏差和累積誤差
2. 時間調整：控制航天器到達目標天體的時間
3. 軌道優化：在多次引力助推之間調整軌道
4. 避險機動：避開太空碎片或其他危險物體
5. 科學需求：滿足特定的科學觀測需求

以新視野號冥王星探測器為例，它在2006年1月發射后，進行了以下關鍵的深空機動：

1. 2006年3月8日：首次深空機動，修正了火箭發射引入的軌道偏差
2. 2007年1月至5月：進行了一系列小的軌道修正，為木星引力助推做準備
3. 2010年至2015年：多次深空機動，精確調整航天器飛掠冥王星的時間和位置

這些機動確保了新視野號能夠精確地飛掠冥王星系統，并獲取高質量的科學數據。

在設計深空機動策略時，需要平衡以下因素：

1. 推進劑消耗：推進劑是航天器的寶貴資源，需要最小化其使用量
2. 機動時機：通常早期機動的效率高于后期機動
3. 導航精度：考慮軌道測定的誤差和控制的不確定性
4. 備份策略：為可能的機動失敗設計備份方案

一個普遍采用的深空機動策略是B平面（B-plane）靶向法。B平面是一個垂直于航天器接近目標天體的漸近速度矢量的平面，通過在B平面上選擇合適的目標點，可以控制航天器相對于目標天體的飛越幾何關系。這種方法在旅行者、伽利略和卡西尼等多個深空任務中得到了成功應用。

3.3 軌道優化方法

軌道優化是行星際軌道設計中的核心問題，其目標是在滿足任務約束的前提下，找到最優的軌道參數和控制序列。隨著計算機技術的發展和優化算法的進步，軌道優化方法日益成熟和多樣化。

傳統的軌道優化方法包括：

1. 解析方法：利用軌道力學的解析解求解簡化問題
2. 間接法：基于變分法和龐特里亞金最大原理
3. 直接法：將連續的最優控制問題離散化為非線性規劃問題

近年來，隨著計算能力的提升，更多現代優化方法被應用于軌道設計：

4. 進化算法：如遺傳算法、差分進化算法等
5. 粒子群優化：模擬生物群體行為的優化方法
6. 模擬退火：基于統計力學的全局優化方法
7. 機器學習方法：如強化學習、神經網絡等

在實際應用中，通常將多種方法結合使用。例如，可以先使用全局優化方法（如進化算法）找到大致的解空間區域，然后使用局部優化方法（如梯度下降）精確求解。

以下是一個軌道優化問題的典型數學描述：

狀態變量：航天器的位置和速度，記為$\mathbf{x}(t)=[\mathbf{r}(t),\mathbf{v}(t){]}^T$

控制變量：推力方向和大小，記為$\mathbf{u}(t)=[F(t),\alpha (t),\beta (t){]}^T$

狀態方程：描述航天器在控制作用下的運動

$$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)$$

邊界條件：起點和終點約束

$$\mathbf{x}(t_0)={\mathbf{x}}_0,\mathbf{x}(t_f)={\mathbf{x}}_f$$

路徑約束：飛行過程中的約束條件

$$\mathbf{c}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)\le 0$$

性能指標：優化目標，如最小化推進劑消耗、最小化飛行時間等

$$J=?(\mathbf{x}(t_f),t_f)+{\int }_{t_0}^{t_f}L(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)dt$$

其中，$?$是終端代價，$L$是積分代價。

這種最優控制問題通常沒有解析解，需要通過數值方法求解。在實際應用中，常用的軟件工具包括NASA的GMAT（General Mission Analysis Tool）、ESA的ASTOS和JPL的CATO等。

一個引人注目的軌道優化案例是"黎明號"探測器的任務。黎明號于2007年發射，分別于2011年和2015年到達小行星帶中的灶神星和谷神星。這是首個依次進入兩個不同天體軌道的探測器。黎明號使用的是離子推進系統，相比傳統化學推進，其比沖高但推力小，需要更長時間的連續推力。為了設計最優的軌道轉移策略，任務團隊使用了先進的低推力軌道優化算法，精確計算了推力的方向和大小，實現了高效的軌道轉移。

4. 現代行星際軌道設計趨勢與挑戰

隨著深空探測任務的日益復雜化和多樣化，行星際軌道設計面臨新的趨勢和挑戰。

4.1 低能量軌道設計

傳統的霍曼轉移軌道和引力助推是基于兩體問題和三體問題的近似解。然而，如果考慮多體問題中的動力學結構，可以發現存在更多種類的低能量軌道。

不變流形軌道：在限制性三體問題中，拉格朗日點附近存在穩定和不穩定流形。通過利用這些流形，航天器可以用極少的能量在不同天體之間轉移。例如，日地系統的L1和L2點附近的不變流形可以用于地月轉移；木星系統的流形可以用于探索木星的衛星系統。

弱穩定捕獲軌道：這類軌道允許航天器以極低的能量被捕獲到目標天體的引力場中。例如，2004年的"創世紀"號太陽風采樣返回任務就使用了這種軌道，實現了低能量的地月轉移。

多體引力輔助：通過巧妙利用多個天體的引力場，可以設計出更加復雜和高效的軌道。例如，土星衛星系統中的"旅行者"就可以利用多個衛星的引力場進行能量轉移。

這些低能量軌道雖然飛行時間較長，但大大降低了推進劑需求，對于一些無人探測任務非常有吸引力。隨著數值方法和動力學理論的發展，這一領域正在快速進步。

4.2 自主導航技術

隨著深空探測距離的增加，地面控制面臨越來越大的時延挑戰。例如，地球與火星之間的無線電通信延遲最大可達22分鐘，而更遠的天體通信延遲更長。這使得實時地面控制變得困難，航天器的自主導航和決策能力變得越來越重要。

現代行星際探測器正逐步配備更強大的自主導航能力，包括：

1. 光學導航：通過相機觀測恒星和行星位置，自主確定航天器的位置和姿態
2. 自主軌道確定：利用機載計算機處理導航數據，實時計算軌道參數
3. 自主決策：根據預定的邏輯和規則，自主調整飛行計劃和執行機動
4. 人工智能輔助：利用機器學習和人工智能技術提高自主導航的魯棒性和適應性

例如，美國宇航局的"好奇號"和"毅力號"火星車已經具備一定的自主導航能力，可以在地面控制人員的支持下自主規劃路徑和避障。未來的深空探測器將擁有更強的自主能力，能夠在更復雜的環境中完成更具挑戰性的任務。

4.3 先進推進技術

傳統的化學推進系統在行星際飛行中面臨推進劑效率的瓶頸。隨著先進推進技術的發展，行星際軌道設計也在發生相應變化。

電推進系統：如霍爾效應推進器、離子推進器等，具有很高的比沖（通常為1500-5000秒，而化學推進系統通常為300-450秒），但推力較小。這類系統適合長期低推力飛行，可以實現螺旋上升的軌道轉移。例如，歐洲航天局的"智能-1"月球探測器、NASA的"黎明號"小行星探測器和日本的"隼鳥"系列小行星采樣返回探測器都使用了電推進系統。

核熱推進：利用核反應堆產生的熱能加熱推進劑，比沖可達800-1000秒。NASA正在開發的核熱推進系統可能用于未來的載人火星任務。

太陽帆：利用太陽光壓作為推力源，無需攜帶推進劑。日本的IKAROS探測器成功驗證了太陽帆技術，而NASA的NEA Scout計劃使用太陽帆探索近地小行星。

激光帆：由地面或太空中的激光陣列提供推力，理論上可以實現接近光速的速度。“突破攝星”（Breakthrough Starshot）計劃正在研究使用激光帆技術在數十年內到達比鄰星。

這些先進推進技術為行星際軌道設計提供了新的可能性，但也帶來了新的挑戰。例如，低推力電推進系統的軌道優化問題比傳統化學推進系統更為復雜，需要考慮連續推力的最優控制問題；而太陽帆的軌道設計則需要考慮太陽光壓與航天器姿態的復雜關系。

5. 結語與展望

行星際軌道設計是一門融合了軌道力學、最優控制、數值計算和工程實踐的綜合性學科。從最初的霍曼轉移軌道到現代的低能量軌道和低推力軌道，從純粹的兩體問題到復雜的多體動力學，行星際軌道設計理論和方法不斷發展和完善。

未來，隨著人類探索活動向太陽系深處和星際空間擴展，行星際軌道設計將面臨新的挑戰：更遠的距離、更長的任務周期、更嚴格的可靠性要求和更復雜的任務目標。同時，人工智能、量子計算等新興技術也將為行星際軌道設計帶來新的工具和方法。

作為未來的航天工作者，你們將有機會參與這一激動人心的事業，為人類探索宇宙的偉大征程貢獻自己的智慧和力量。希望本課程所學的軌道力學基礎知識能夠為你們未來的工作和研究提供有力的支持。

思考題

1. 分析地球到火星的霍曼轉移軌道設計，計算最佳發射時機和所需的速度增量。
2. 引力助推技術對深空探測任務的意義是什么？試舉例說明幾個成功利用多重引力助推的歷史任務。
3. 比較化學推進系統和電推進系統在行星際軌道設計中的優缺點。
4. 討論不同軌道優化方法（如直接法、間接法、進化算法等）在行星際軌道設計中的適用場景。
5. 試分析低能量軌道（如不變流形軌道）在未來太陽系探索中的潛在應用。
6. 考慮設計一個從地球到木星的任務，探討在不同任務約束（如飛行時間、推進劑消耗等）下，應如何選擇合適的軌道設計方案。
7. 分析行星際飛行中自主導航技術的關鍵挑戰，并討論其對軌道設計的影響。
8. 討論太陽帆推進技術的工作原理，并設計一個利用太陽帆從地球飛向小行星帶的任務方案。
9. 研究多體問題動力學在行星際軌道設計中的應用，特別是拉格朗日點及其穩定/不穩定流形的利用。
10. 分析行星際軌道設計中的不確定性因素（如太陽風、輻射壓力等），并探討如何在軌道設計中考慮這些因素。
11. 討論人工智能和機器學習技術如何應用于行星際軌道優化，并分析其優勢和局限性。
12. 考慮一個往返于地球和火星之間的循環任務，設計能量高效的軌道方案，并討論發射窗口的選擇策略。

習題

1. 霍曼轉移計算題：研究地球到火星的轉移軌道。
   (a) 已知地球軌道半長軸為1 AU，火星軌道半長軸為1.524 AU，計算地火霍曼轉移軌道的飛行時間
   (b) 計算所需的總速度增量
   ? 分析發射時機對速度增量的影響

2. 引力助推分析題：研究木星引力助推的效果。
   (a) 某航天器需要飛越木星進行引力助推，木星的質量為1.898×10^27 kg，航天器相對木星的超速度為10 km/s，飛越距離為200,000 km，計算飛越偏轉角
   (b) 計算可能獲得的最大速度增量
   ? 分析飛越距離對偏轉角和速度增量的影響

3. 多重引力助推設計題：規劃復雜的行星際飛行路徑。
   (a) 設計一個從地球到土星的多重引力助推軌道，途經金星、地球和木星
   (b) 討論每次飛越的目的和效果
   ? 估算整個任務的總飛行時間和所需的發射能量

4. 軌道機動策略題：比較不同軌道平面變更策略。
   (a) 某深空探測器在距離太陽2 AU處需要改變軌道傾角30°，計算所需的速度增量
   (b) 如果采用雙橢圓轉移策略，速度增量會有什么變化
   ? 分析在什么條件下雙橢圓轉移更為有利

5. 捕獲軌道設計題：設計火星探測器的制動方案。
   (a) 航天器在接近火星時，距離火星10,000 km處的相對速度為5 km/s
   (b) 設計一個制動方案，使航天器進入環火星圓軌道，軌道高度為400 km
   ? 計算所需的速度變化，并分析制動失敗的風險及應對措施

6. 低推力軌道設計題：規劃電推進任務。
   (a) 某探測器需要從地球軌道（1 AU）轉移到小行星帶（2.7 AU）進行探測，使用電推進系統（比沖3000秒，推力0.1 N）
   (b) 設計一條螺旋上升軌道，并計算所需的推進劑質量和飛行時間，探測器初始質量為1000 kg
   ? 比較該方案與化學推進系統的優缺點

7. 比較分析題：評估不同水星飛行路徑。
   (a) 計算從地球到水星的直接霍曼轉移軌道所需的速度增量
   (b) 計算利用金星引力助推到達水星的方案所需的速度增量
   ? 分析兩種方案的優缺點，包括飛行時間、能量需求和技術難度

8. 軌道優化題：研究軌道面調整策略。
   (a) 某航天器在太陽系內執行多星連飛任務，現位于距太陽3 AU處，軌道傾角為5°，若需將軌道面調整為與黃道面重合
   (b) 計算直接平面機動所需的速度增量
   ? 計算采用雙橢圓轉移策略所需的速度增量，并確定最佳轉移點

9. 低能量軌道設計題：利用不變流形進行軌道設計。
   (a) 設計一條利用地球-月球系統L1點和L2點的不變流形進行地月轉移的軌道
   (b) 與直接霍曼轉移比較所需的速度增量
   ? 分析低能量軌道的局限性和適用條件

10. 先進推進系統應用題：規劃太陽帆飛行路徑。
    (a) 某航天器采用太陽帆推進（特征加速度0.1 mm/s2）
    (b) 計算從地球到木星的最短飛行時間軌道
    ? 分析太陽帆姿態控制策略對飛行性能的影響

11. 行星系統探測規劃題：設計衛星系統內的飛行路徑。
    (a) 在木星系統中，設計一條訪問木衛二、木衛三和木衛四的軌道，要求飛越木衛二和木衛三后最終進入木衛四軌道
    (b) 計算每次飛越和軌道調整所需的速度變化
    ? 分析任務約束條件對軌道設計的影響

12. 應急軌道設計題：處理航天器故障情況。
    (a) 某行星際探測器在執行任務過程中發生故障，推進系統只能提供總共500 m/s的速度變化能力，該探測器當前位于火星和木星之間的太陽軌道上（半長軸3 AU，偏心率0.2）
    (b) 設計一個利用最少的速度變化使其能夠返回地球的方案
    ? 分析軌道設計對任務持續時間的影響，并評估成功概率

參考文獻

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