引言

在數學和工程學中，微分方程廣泛應用于描述動態系統的行為，如電路、電氣控制系統、機械振動等。求解微分方程的一個常見方法是使用拉普拉斯變換，尤其是在涉及到初始條件時。今天，我們將通過 Python 演示如何使用拉普拉斯變換來求解微分方程，并幫助大家更好地理解這一過程。

什么是拉普拉斯變換？

拉普拉斯變換是一種數學變換，常用于將微分方程轉換為代數方程，方便求解。通過拉普拉斯變換，我們可以將微分方程中的微分操作轉化為簡單的代數運算，從而簡化求解過程。

對于一個函數 f(t)，拉普拉斯變換定義為： F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ e ? s t f ( t ) d t F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt F(s)=L{f(t)}=∫0∞?e?stf(t)dt

其中，s 是復數域中的變量，t 是時間。通過這個變換，我們可以把微分方程轉換成代數方程，求解后再通過逆拉普拉斯變換得到原函數 f(t)。

拉普拉斯變換在微分方程求解中的應用

考慮一個常見的一階線性微分方程：$$\frac{dy}{dt}+3y=6,y(0)=2$$
我們希望用拉普拉斯變換來求解這個微分方程。

步驟一：應用拉普拉斯變換

首先，對方程兩邊應用拉普拉斯變換：
L { d