一致矩陣在層次分析法(AHP)中的應用與性質

在層次分析法(AHP)中，一致矩陣是判斷矩陣的一種理想狀態，它反映了決策者判斷的完全合理性和一致性，也就是為了避免決策者認為“A比B重要，B比C重要，但是C又比A重要”的矛盾。

本文將詳細介紹一致矩陣的定義、性質及其在AHP中的重要意義。

關于層次分析法(AHP)的介紹，可以參考：【數學建模】層次分析法(AHP)詳解及其應用 。

一、一致矩陣的定義

定義：設$A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$是判斷矩陣，如果對于任意的 i , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n } i, j, k \in \{1, 2, \ldots, n\} i,j,k∈{1,2,…,n}，都有：

$$a_{ij}?a_{jk}=a_{ik}$$

則稱矩陣$A$為一致矩陣。

這一定義表明，在一致矩陣中，元素$i$對元素$k$的重要性可以通過元素$i$對元素$j$的重要性與元素$j$對元素$k$的重要性的乘積來確定。

二、一致矩陣的基本性質

1. 倒數性

一致矩陣滿足倒數性，即：

$$a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}$$

這表示元素$j$相對于元素$i$的重要性是元素$i$相對于元素$j$的重要性的倒數。

2. 傳遞性

一致矩陣滿足傳遞性，即：

$$a_{ij}?a_{jk}=a_{ik}$$

這表示判斷的傳遞性，是一致矩陣的定義與核心特征。

3. 秩為1

一致矩陣$A$的秩$rank(A)=1$，即一致矩陣是一個秩1矩陣。

4. 特征值和特征向量

一致矩陣$A$有且僅有一個非零特征值${\lambda }_{max}=n$，對應的特征向量正是權重向量$W$。其余$n?1$個特征值均為0。

$$A?W=n?W$$

5. 表示形式

任意一致矩陣$A$都可以表示為：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{w_1}{w_1}& \frac{w_1}{w_2}& ?& \frac{w_1}{w_n}\\ \frac{w_2}{w_1}& \frac{w_2}{w_2}& ?& \frac{w_2}{w_n}\\ ?& ?& ?& ?\\ \frac{w_n}{w_1}& \frac{w_n}{w_2}& ?& \frac{w_n}{w_n}\end{array}\right]$$

其中$W=(w_1,w_2,\dots ,w_n{)}^T$是權重向量。

三、一致矩陣的判定

1. 定義法判定

檢驗矩陣$A$中的所有元素是否滿足$a_{ij}?a_{jk}=a_{ik}$。

2. 特征值法判定

計算判斷矩陣$A$的最大特征值${\lambda }_{max}$，如果${\lambda }_{max}=n$，則$A$為一致矩陣。

3. 一致性指標判定

計算一致性指標$CI$：

$$CI=\frac{{\lambda }_{max}?n}{n?1}$$

如果$CI=0$，則$A$為一致矩陣。

四、一致矩陣的構造

1. 直接構造法

如果已知權重向量$W=(w_1,w_2,\dots ,w_n{)}^T$，則可以直接構造一致矩陣：

$$a_{ij}=\frac{w_i}{w_j}$$

2. 從非一致矩陣導出

對于非一致矩陣，可以通過以下步驟構造最接近的一致矩陣：

1. 計算非一致矩陣的權重向量$W$
2. 利用$W$構造一致矩陣$A^{\prime }$，其中$a_{ij}^{\prime }=\frac{w_i}{w_j}$

五、一致矩陣在AHP中的意義

1. 理想判斷的標準

一致矩陣代表了決策者判斷的完全一致性，是判斷矩陣的理想狀態。在實際決策過程中，由于人的認知限制，很難直接給出一致矩陣，但它是我們追求的目標。

2. 一致性檢驗的基礎

在AHP中，通過比較實際判斷矩陣與一致矩陣的差異，來評估判斷的一致性程度。一致性比率$CR$越小，表示判斷矩陣越接近一致矩陣，判斷的一致性越好。

3. 權重計算的理論依據

一致矩陣的特性為AHP中權重計算提供了理論依據。對于一致矩陣，其權重向量就是對應于最大特征值的特征向量。

六、一致矩陣與非一致矩陣的關系

在實際應用中，由于決策者認知的局限性，通常得到的是非一致矩陣。非一致矩陣與一致矩陣的關系可以通過以下方式表示：

$$A=A^{\prime }+E$$

其中$A$是實際的判斷矩陣，$A^{\prime }$是對應的一致矩陣，$E$是誤差矩陣。

AHP的一致性檢驗就是評估誤差矩陣$E$的大小，判斷實際矩陣$A$與理想一致矩陣$A^{\prime }$的接近程度。

七、一致矩陣的數學證明示例

命題1：一致矩陣的最大特征值等于矩陣的階數

證明：
設$A$是$n$階一致矩陣，權重向量為$W=(w_1,w_2,\dots ,w_n{)}^T$，則：

$$a_{ij}=\frac{w_i}{w_j}$$

考慮$A?W$的第$i$行元素：

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}?w_j=\sum _{j=1}^n\frac{w_i}{w_j}?w_j=w_i\sum _{j=1}^{n}1=n?w_i$$

因此，$A?W=n?W$，即$n$是$A$的特征值，對應的特征向量是$W$。

又因為$rank(A)=1$，所以$A$有且僅有一個非零特征值，即${\lambda }_{max}=n$。

命題2：一致矩陣的一致性指標CI為0

證明：
由命題1可知，一致矩陣的最大特征值${\lambda }_{max}=n$，因此：

$$CI=\frac{{\lambda }_{max}?n}{n?1}=\frac{n?n}{n?1}=0$$

八、一致矩陣的實例

例1：2階一致矩陣

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$$

驗證：

• $a_{12}?a_{21}=2?\frac{1}{2}=1=a_{11}$
• $a_{21}?a_{12}=\frac{1}{2}?2=1=a_{22}$

權重向量：$W=(2/3,1/3{)}^T$

例2：3階一致矩陣

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 6\\ \frac{1}{2}& 1& 3\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& 1\end{array}\right]$$

驗證：

• $a_{12}?a_{23}=2?3=6=a_{13}$
• $a_{21}?a_{13}=\frac{1}{2}?6=3=a_{23}$
• $a_{31}?a_{12}=\frac{1}{6}?2=\frac{1}{3}=a_{32}$

權重向量：$W=(6/10,3/10,1/10{)}^T$

九、一致矩陣在實際決策中的應用

在實際決策過程中，一致矩陣主要有以下應用：

1. 作為判斷矩陣一致性的參考標準：通過計算一致性比率CR，評估實際判斷矩陣與理想一致矩陣的接近程度。

2. 修正不一致判斷：當判斷矩陣的一致性不滿足要求時，可以利用一致矩陣的性質對原判斷矩陣進行修正。

3. 簡化判斷過程：利用一致矩陣的傳遞性，可以減少判斷的次數。理論上，對于$n$個元素，只需要$n?1$次判斷就可以構造完整的一致矩陣。

十、結語

一致矩陣作為層次分析法中的理想判斷狀態，為我們提供了評估判斷一致性的標準。雖然在實際決策中很難直接得到完全一致的判斷矩陣，但通過一致性檢驗和必要的修正，我們可以使判斷矩陣盡可能接近一致矩陣，從而提高決策的科學性和合理性。

理解一致矩陣的性質和意義，對于正確應用層次分析法、提高多準則決策的質量具有重要價值。

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參考文獻

1. Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. New York: McGraw-Hill.
2. 徐澤水. (2002). 層次分析法原理. 天津: 天津大學出版社.
3. 許樹柏. (1995). 層次分析法. 北京: 中國人民大學出版社.
4. Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 234-281.