在OpenFOAM中，lduMatrix 是用于存儲稀疏矩陣的類，支持并行計算。并行分區后，lduMatrix 的矩陣向量乘法通過以下步驟實現：

1. 矩陣分區

• 分區：將矩陣和向量分配到多個處理器上，每個處理器負責一部分。
• 接口：分區后，處理器間存在共享的邊界單元（interface cells），需通過通信同步這些單元的數據。

2. 矩陣向量乘法

• 局部計算：每個處理器獨立計算其負責的矩陣部分與向量的乘積。
• 邊界同步：由于邊界單元涉及多個處理器，需通過MPI等通信機制交換數據，確保邊界單元的值一致。

3. 通信與同步

• 非阻塞通信：使用非阻塞通信（如MPI_Isend和MPI_Irecv）提高效率。
• 等待完成：在所有通信完成后，繼續后續計算。

4. 結果合并

• 局部結果：每個處理器計算局部結果。
• 全局結果：通過通信將局部結果合并為全局結果。

代碼示例

// 局部矩陣向量乘法
void multiply(const lduMatrix& A, const Field<Type>& x, Field<Type>& Ax)
{// 局部計算A.Amul(Ax, x);// 邊界同步A.initMatrixInterfaces(true,   // 是否使用非阻塞通信false   // 是否使用阻塞通信);// 更新邊界值A.updateMatrixInterfaces(true,   // 是否使用非阻塞通信false   // 是否使用阻塞通信);
}

總結

OpenFOAM通過矩陣分區、局部計算、邊界同步和結果合并實現并行矩陣向量乘法，依賴MPI等通信機制確保數據一致性。