二維隨機變量

設$X$和$Y$是定義在同一樣本空間$\Omega$上的兩個隨機變量，稱由它們組成的向量$(X,Y)$為二維隨機變量，亦稱為二維隨機向量，其中稱$X$和$Y$是二維隨機變量的分量。

采用多個隨機變量去描述一個隨機現象，所以定義中的隨機變量$X$和$Y$是要求定義在同一個樣本空間上。相對于二維隨機變量$(X,Y)$，也稱$X$和$Y$是一維隨機變量。

若隨機變量$X$和$Y$之間存在相互關系，則需要將$(X,Y)$作為一個整體（向量）來進行研究。通過將兩個隨機變量$X$和$Y$組合成一個二維隨機變量$(X,Y)$，可以更全面地描述和分析隨機現象。

二維離散隨機變量

若二維隨機變量$(X,Y)$的取值只有有限多對或可列無窮多對，則稱$(X,Y)$為二維離散隨機變量。

二維離散隨機變量及其聯合分布律

設二維離散隨機變量$(X,Y)$所有可能取到的不同值為$(x_i,y_j)$，$i,j=1,2,\dots$，稱

$$p_{ij}=p(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)$$

為$(X,Y)$的聯合概率函數或聯合分布律，簡稱為$(X,Y)$的概率函數或分布律。

• 二維離散隨機變量：如果二維隨機變量$(X,Y)$的取值只有有限多對或可列無窮多對，則稱其為二維離散隨機變量。
• 聯合概率函數$p_{ij}$：表示隨機變量$X$取值為$x_i$且隨機變量$Y$取值為$y_j$的概率。
• 聯合分布律：所有可能的$(x_i,y_j)$對應的概率$p_{ij}$構成了二維離散隨機變量$(X,Y)$的聯合分布律。

設隨機變量$X$可以取值$x_1,x_2,\dots ,x_m$，而隨機變量$Y$可以取值$y_1,y_2,\dots ,y_n$。那么，$X$和$Y$的聯合分布律可以通過以下方式表示：

$(X,Y)$	$Y=y_1$	$Y=y_2$	$?$	$Y=y_j$	$?$	$Y=y_n$
$X=x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$?$	$p_{1j}$	$?$	$p_{1n}$
$X=x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$?$	$p_{2j}$	$?$	$p_{2n}$
$?$	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$
$X=x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$?$	$p_{ij}$	$?$	$p_{in}$
$?$	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$
$X=x_m$	$p_{m1}$	$p_{m2}$	$?$	$p_{mj}$	$?$	$p_{mn}$

在這個表中：

• 每個元素$p_{ij}$表示$X=x_i$且$Y=y_j$同時發生的概率。
• 所有$p_{ij}$值加起來等于 1，因為它們代表了所有可能事件的概率總和。

二維連續型隨機變量及其聯合概率密度函數

設$(X,Y)$是二維隨機變量，$F(x,y)$是其聯合分布函數。若存在非負二元函數$p(x,y)$，使得對于任意的實數$x$和$y$，有

$$F(x,y)={\int }_{?\infty }^x{\int }_{?\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v,$$

則稱$(X,Y)$為二維連續型隨機變量，稱$p(x,y)$為$(X,Y)$的聯合概率密度函數，簡稱為概率密度。

• 聯合分布函數$F(x,y)$描述了隨機變量$X$和$Y$同時小于等于$x$和$y$的概率。
• 聯合概率密度函數$p(x,y)$是一個非負二元函數，通過積分可以得到聯合分布函數$F(x,y)$。
• 二維連續型隨機變量：如果存在這樣的聯合概率密度函數$p(x,y)$，則稱$(X,Y)$為二維連續型隨機變量。

$n$維隨機變量

設$X_1,X_2,\dots ,X_n$是定義在同一樣本空間$\Omega$上的$n$個隨機變量，稱由它們組成的向量$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$為$n$維隨機變量，亦稱為$n$維隨機向量，其中稱$X_i$（$1\le i\le n$）是$n$維隨機向量的第$i$個分量。

• $n$維隨機變量：由$n$個隨機變量$X_1,X_2,\dots ,X_n$組成的向量。
• $n$維隨機向量：與$n$維隨機變量同義，表示一個包含$n$個隨機變量的向量。
• 分量：每個隨機變量$X_i$（$1\le i\le n$）是$n$維隨機向量的一個組成部分。