Secure Summation Operation

讓我們通過一個具體的例子來說明這個算法。

假設有三個數據擁有者 S1, S2 和 S3，他們分別持有以下值：

• S1 持有 value1 = 10
• S2 持有 value2 = 20
• S3 持有 value3 = 30

在正式開始安全求和操作之前，每對數據擁有者 Si 和 Sj (i < j) 需要事先秘密協商一個隨機數 sci,j。假設他們協商的隨機數如下：

• S1 和 S2 協商 sci,j = sc1,2 = 5
• S1 和 S3 協商 sci,j = sc1,3 = -3
• S2 和 S3 協商 sci,j = sc2,3 = 4

接下來，每個數據擁有者根據公式 perturb 自己的值：（加上比自己大的id的協商值，減去比自己小的協商值）

對于 S1:

• value′1 = value1 + (sc1,2 + sc1,3) - 0 = 10 + (5 + (-3)) - 0 = 10 + 2 = 12

對于 S2:

• value′2 = value2 + sc2,3 - sc1,2 = 20 + 4 - 5 = 20 - 1 = 19

對于 S3:

• value′3 = value3 - (sc1,3 + sc2,3) = 30 - ((-3) + 4) = 30 - 1 = 29

然后，每個數據擁有者將 perturb 后的值發送給空間數據聯合體：

• S1 發送 value′1 = 12
• S2 發送 value′2 = 19
• S3 發送 value′3 = 29

最后，空間數據聯合體將這些值相加，得到最終結果：

• 最終結果 = value′1 + value′2 + value′3 = 12 + 19 + 29 = 60

我們可以驗證這個結果是否等于原始值的和：

• 原始值的和 = value1 + value2 + value3 = 10 + 20 + 30 = 60

通過這種方式，算法在保證數據隱私的前提下，成功地計算出了多個數據擁有者的值的和。

Secure Set Union Operation

讓我們通過一個具體的例子來說明這個算法。

假設有三個數據擁有者 S1, S2 和 S3，他們分別持有以下數據集：

• S1 的數據集 set1 = {1, 2, 3}
• S2 的數據集 set2 = {3, 4, 5}
• S3 的數據集 set3 = {5, 6, 7}

首先，每個數據擁有者生成一個隨機集：

• S1 生成 rset1 = {8, 9}
• S2 生成 rset2 = {10, 11}
• S3 生成 rset3 = {12, 13}

接下來，按照算法的步驟進行：

1. S1 計算 tset1 = set1 ∪ rset1 = {1, 2, 3} ∪ {8, 9} = {1, 2, 3, 8, 9}，并將 tset1 發送給 S2。
2. S2 計算 tset2 = tset1 ∪ set2 ∪ rset2 = {1, 2, 3, 8, 9} ∪ {3, 4, 5} ∪ {10, 11} = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11}，并將 tset2 發送給 S3。
3. S3 計算 tset3 = tset2 ∪ set3 ∪ rset3 = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11} ∪ {5, 6, 7} ∪ {12, 13} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}，并將 tset3 發送給 S1。

然后，開始第二輪操作：

1. S1 計算 tset1 = tset3 ? rset1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ? {8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13}，并將 tset1 發送給 S2。
2. S2 計算 tset2 = tset1 ? rset2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13} ? {10, 11} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13}，并將 tset2 發送給 S3。
3. S3 計算 tset3 = tset2 ? rset3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13} ? {12, 13} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，并將 tset3 發送給 S1。

最后，S1 將 tset3 提交給空間數據聯合體。此時，tset3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，它等于 set1, set2 和 set3 的并集。

通過這種方式，算法在保證數據隱私的前提下，成功地計算出了多個數據擁有者的集合并集。