通俗理解LKH-3算法

LKH-3（Lin-Kernighan-Helsgaun）是求解**旅行商問題（TSP）**的最強啟發式算法之一，由丹麥計算機科學家Keld Helsgaun在LKH-2基礎上改進而來。它的核心思想是：通過智能的“局部破壞與修復”策略，逐步優化路徑，最終找到接近最優的解。

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1. 類比理解

想象你是一個快遞員，要訪問多個城市送貨，目標是走最短路線。LKH-3的工作方式類似于：

1. 先隨便規劃一條路線（可能很長）。
2. 不斷嘗試對路線做小改動（比如交換兩個城市的順序、反轉一段路徑）。
3. 只保留能讓總距離變短的改動，丟棄無效的改動。
4. 重復這個過程，直到無法再優化。

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2. 核心步驟分解

(1) 初始路徑生成

• 隨便生成一條初始路徑（比如按城市編號順序連接）。
• 或使用其他算法（如貪心算法）生成一個較好的起點。

(2) 局部優化（關鍵部分）

LKH-3通過k-opt交換不斷改進路徑：

• k-opt交換：斷開路徑中的k條邊，嘗試用其他邊重新連接。
  • 2-opt：交換兩條邊（類似把路徑中的一段“翻轉”）。
  • 3-opt：交換三條邊（更復雜的重組，如圖）。
  • LKH-3支持動態k值（最高到5-opt甚至更高）。

(3) 候選集策略（加速關鍵）

• 不是對所有城市都嘗試交換，而是優先檢查“可能有用的鄰居”：
  • 對每個城市，預先計算最近的若干城市（如最近的20個），形成“候選列表”。
  • 只在這些候選城市之間嘗試交換，大幅減少計算量。

(4) 增量式更新

• 每次優化后，只更新受影響的部分路徑，而非重新計算整個路徑長度。

(5) 多次迭代

• 重復上述過程，直到連續N次嘗試都無法改進路徑。

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3. 為什么LKH-3強大？

特性	說明
動態k值	根據問題復雜度自動調整交換的邊數（2-opt到5-opt），靈活性高。
候選集優化	通過預選“潛力城市”減少無效計算，速度比暴力搜索快100倍以上。
適應性策略	對不同類型的TSP問題（隨機分布、聚類分布等）均表現良好。
并行化	可多線程同時嘗試多種交換策略。

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4. 舉個實際例子

假設有5個城市，初始路徑為 A→B→C→D→E→A，總距離=100：

1. 嘗試2-opt：斷開邊 A-B 和 C-D，重新連接為 A-C 和 B-D，新路徑 A→C→B→D→E→A，距離=95（接受優化）。
2. 嘗試3-opt：斷開 A-C、B-D、E-A，重組為 A→D→B→E→C→A，距離=92（進一步優化）。
3. 直到無法改進：最終可能得到 A→D→E→B→C→A，距離=90（近似最優解）。

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5. 和傳統算法的對比

算法	優點	缺點
窮舉法	保證找到最優解	計算時間隨城市數量指數級爆炸
遺傳算法	適合大規模問題	結果不穩定，可能陷入局部最優
LKH-3	速度快，解的質量接近最優	實現復雜，參數需要調優

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6. 實際應用場景

• 物流配送：優化快遞員、外賣騎手的路線。
• 電路板設計：最小化鉆孔機的移動路徑。
• DNA測序：尋找基因片段的最優拼接順序。

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7. 進一步學習

• 官方實現：LKH-3代碼
• 數學細節：研究論文 Helsgaun, K. (2017). “An Effective Implementation of the Lin-Kernighan Traveling Salesman Heuristic”

代碼實戰

Python 3.10 需安裝elkai庫
實測效果明顯優于傳統ACO（蟻群算法）+ 2-opt/3-opt局部優化的方法

elkai源碼Github地址
https://github.com/fikisipi/elkai?tab=readme-ov-file

import elkaiimport yaml
import numpy as npimport cv2# data.yml是opencv存儲的，距離矩陣，N*N，CV_64FC1，N表示城市數量
fs = cv2.FileStorage("data.yml", cv2.FILE_STORAGE_READ)
data = fs.getNode("double_matrix").mat()
fs.release()# yaml_path = "data.yml"  # 替換為你的文件路徑
# cities = read_opencv_yaml_to_array(yaml_path)cities = elkai.DistanceMatrix(data)path = cities.solve_tsp()print(path) # Output: [0, 2, 1, 0]# 手動計算總距離
total_dist = 0
for i in range(len(path)-2):total_dist += data[path[i]][path[i+1]]
print(total_dist) # Output: 10.0