已知公式：
$$u(x,t)={\int }_{?\infty }^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy.$$ （1）
其中
$$G(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}$$ （2）
這個公式解決了熱方程的初值問題
$$u_t=k{u}_{xx}$$ （3）
初始函數為$$g(x)$$。
在下面的許多問題中，對于一個修改后的標準問題，你需要推導出一個類似的公式，盡管$$G(x,y,t)$$有所修改。考慮
$$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^z{e}^{?z^2}dz$$ （Erf）
作為一個標準函數。

題目

問題 2：使用延拓方法（method of continuation）求解熱方程在區域 $$x>0,t>0$$ 上的初邊值問題（IBVP），初始函數為 $$g(x)$$，并針對以下邊界條件推導類似于公式 (1)-(2) 的解表達式：

(a) Dirichlet 邊界條件 $$u{|}_{x=0}=0$$；
(b) Neumann 邊界條件 $$u_x{|}_{x=0}=0$$.

背景信息：公式 (1)-(2) 給出了熱方程 $$u_t=k{u}_{xx}$$ 在整個實數軸上的初值問題的解：
$$u(x,t)={\int }_{?\infty }^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy,\text{(1)}$$
其中
$$G(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}.\text{(2)}$$
該解滿足初始條件 $$u(x,0)=g(x)$$。問題要求在半無限區域 $$x>0$$ 上，通過延拓方法推導類似公式，其中 Green 函數 $$G(x,y,t)$$ 會相應修改。

解決方法

延拓方法的核心思想是將半無限區域問題擴展到整個實數軸，通過適當延拓初始函數 $$g(x)$$ 使得邊界條件自動滿足。然后，利用整個實數軸上的解公式（1），并限制回半無限區域 $$x>0$$。

(a) Dirichlet 邊界條件 $$u{|}_{x=0}=0$$

對于 Dirichlet 邊界條件，采用奇延拓（odd extension）定義初始函數：
$$g_{\text{odd}}(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{for?}x>0,\\ ?g(?x)& \text{for?}x<0.\end{array}$$
此延拓確保 $$g_{\text{odd}}(x)$$ 是奇函數，即 $$g_{\text{odd}}(?x)=?g_{\text{odd}}(x)$$。考慮整個實數軸上的熱方程初值問題，初始條件為 $$u(x,0)=g_{\text{odd}}(x)$$，其解由公式 (1) 給出：
$$u(x,t)={\int }_{?\infty }^{\infty }G(x,y,t)g_{\text{odd}}(y)dy.$$
由于 $$g_{\text{odd}}(y)$$ 是奇函數，且 $$G(x,y,t)$$ 關于 $$y$$ 是偶函數（因依賴于 $$y^2$$），被積函數 $$G(x,y,t)g_{\text{odd}}(y)$$ 是奇函數。在 $$x=0$$ 處，積分值為零，滿足 $$u(0,t)=0$$。將積分拆分為 $$y>0$$ 和 $$y<0$$ 部分：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy+{\int }_{?\infty }^{0}G(x,y,t)[?g(?y)]dy.$$
在第二積分中，令 $$z=?y$$（則 $$dy=?dz$$，當 $$y\to ?\infty$$ 時 $$z\to \infty$$，當 $$y\to 0^{?}$$ 時 $$z\to 0^{+}$$)：
$${\int }_{?\infty }^{0}G(x,y,t)[?g(?y)]dy={\int }_{\infty }^{0}G(x,?z,t)[?g(z)](?dz)=?{\int }_0^{\infty }G(x,?z,t)g(z)dz.$$
因此，
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy?{\int }_0^{\infty }G(x,?y,t)g(y)dy={\int }_0^{\infty }\left[G(x,y,t)?G(x,?y,t)\right]g(y)dy.$$
代入 $$G(x,y,t)$$ 的表達式 (2)：
$$G(x,?y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}},$$
所以解為：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}?e^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right)g(y)dy.$$
對應的 Green 函數為：
$$G_D(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}?e^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right).$$

(b) Neumann 邊界條件 $$u_x{|}_{x=0}=0$$

對于 Neumann 邊界條件，采用偶延拓（even extension）定義初始函數：
$$g_{\text{even}}(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{for?}x>0,\\ g(?x)& \text{for?}x<0.\end{array}$$
此延拓確保 $$g_{\text{even}}(x)$$ 是偶函數，即 $$g_{\text{even}}(?x)=g_{\text{even}}(x)$$。考慮整個實數軸上的熱方程初值問題，初始條件為 $$u(x,0)=g_{\text{even}}(x)$$，其解由公式 (1) 給出：
$$u(x,t)={\int }_{?\infty }^{\infty }G(x,y,t)g_{\text{even}}(y)dy.$$
由于 $$g_{\text{even}}(y)$$ 是偶函數，解 $$u(x,t)$$ 也是偶函數，故在 $$x=0$$ 處滿足 $$u_x(0,t)=0$$。將積分拆分為 $$y>0$$ 和 $$y<0$$ 部分：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy+{\int }_{?\infty }^{0}G(x,y,t)g(?y)dy.$$
在第二積分中，令 $$z=?y$$（則 $$dy=?dz$$，當 $$y\to ?\infty$$ 時 $$z\to \infty$$，當 $$y\to 0^{?}$$ 時 $$z\to 0^{+}$$)：
$${\int }_{?\infty }^{0}G(x,y,t)g(?y)dy={\int }_{\infty }^{0}G(x,?z,t)g(z)(?dz)={\int }_0^{\infty }G(x,?z,t)g(z)dz.$$
因此，
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy+{\int }_0^{\infty }G(x,?y,t)g(y)dy={\int }_0^{\infty }\left[G(x,y,t)+G(x,?y,t)\right]g(y)dy.$$
代入 $$G(x,y,t)$$ 的表達式 (2)：
$$G(x,?y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}},$$
所以解為：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}+e^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right)g(y)dy.$$
對應的 Green 函數為：
$$G_N(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}+e^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right).$$

答案

(a) Dirichlet 邊界條件 $$u{|}_{x=0}=0$$

解為：
$$\boxed{u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}?e^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}?e^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}?g(y)dy}$$

(b) Neumann 邊界條件 $$u_x{|}_{x=0}=0$$

解為：
$$\boxed{u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}?e^{?\frac{(x?y{)}^2}{4kt}}+e^{?\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}?g(y)dy}$$