測角原理 —— 角度怎么測

本節內容解決角度怎么測的問題，首先要根據測角的場景對測角過程進行建模。

測角模型的第一個前提是 前方目標距離雷達較遠(遠場)，這樣目標的反射波是到達雷達陣前是可以近似成一個平行波面，即反射波到達雷達各個RX天線的入射角是一樣的。如下圖所示（假設共有8個RX天線）

強調這個前提的原因在于，通常情況下，我們會將雷達遠場的目標抽象成一個點目標，如果還保持這種前提和思路去看待雷達測角原理，那么我們建立的模型是一個點產生的反射波，點反射波到達雷達接收天線陣前不是平行波，對于不同的RX天線而言，目標點的到達的角度各不相同。如下圖所示. 所以如果按照下面的模型進行建模是不行的，所以我們測角原理的第一個前提是 “目標在雷達遠場”，關于在近場的情況如何進行分析，后面的章節我們會提到，當前所有的分析基于遠場進行。

測角公式 —— 角度怎么算

相位差測角基本公式

如下圖，假設接收天線之間的距離為$d$，目標物體與雷達連線和雷達正方向（垂直于雷達天線板的法線方向）的夾角為$\theta$ ，則距離差$\Delta d=d\sin \theta$ 。

如何理解這里的距離差$\Delta d$，對$\Delta d$的分析基于以下幾點：

1. 雷達發射的電磁波在空間中按照直線傳播
2. 波的傳播在空間中滿足$v=\lambda f$ ，其中$v$、$\lambda$、$f$分別代表波速、波長、頻率。電磁波的傳輸滿足此公式。
3. 波長的定義為波在一個周期內傳播的距離。
4. 電磁波在空間中的傳播約為$3?10^{8}m/s$
5. 一個周期內電磁波相位變化為$2pi$

結合以上內容，在雷達信號發射頻域確定的情況下(77GHz)，雷達發射的電磁波在空間中傳播的波長是確定的，即在一個周期內傳播的距離是確定的。

將其代入相位差公式$\frac{\Delta \Phi }{2\pi }=\frac{\Delta d}{\lambda }$ 中，得到
$$\Delta \Phi =\frac{2\pi \Delta d}{\lambda }$$
進一步得到
$$\Delta \Phi =\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$$
變形求解角度$\theta$ ，可得$$\theta =\arcsin (\frac{\lambda \Delta \Phi }{2\pi d})$$

在這個公式中，$\lambda$為毫米波的波長，它由雷達的工作頻率決定，不同的毫米波雷達工作頻率不同，波長也相應不同；$\Delta \Phi$為通過測量得到的相位差，是計算角度的關鍵輸入量；$d$為接收天線之間的間距，是雷達硬件設計中的一個重要參數，它直接影響著角度測量的精度和分辨率。

下面舉例說明使用相位差法計算角度的過程：

當波長$\lambda =4mm$ ，接收天線間距$d=10mm$ ，測量得到的相位差$\Delta \Phi =\frac{\pi }{2}$ 時，代入公式可計算出目標物體的角度$$\theta =\arcsin (\frac{4\times 10^{?3}\times \frac{\pi }{2}}{2\pi \times 10\times 10^{?3}})=\arcsin (0.1)\approx 5.74^{°}$$

為什么是3DFFT

剛剛我們解釋了利用相位差求解角度的基本公式推導過程，一般情況下我們對于角度的計算是通過3DFFT實現的，這節我們將解釋3DFFT與剛剛的相位差測角的關系，即回答為什么可以用3DFFT實現測角的問題

角度維FFT能夠實現角度測量的核心原理在于利用天線陣列接收信號的相位差特性與空間頻率的對應關系。

1. 空間頻率與角度的對應關系

將天線陣列視為一個空間采樣系統，各陣元的接收信號可看作對空間場分布的采樣。目標角度$\theta$ 對應于信號在空間中的頻率分量（即空間頻率），其表達式為：
$$k=\frac{2\pi d}{\lambda }\sin \theta$$
其中，$k$ 表示空間頻率（單位：rad/m）。角度維FFT的本質是對天線陣列接收信號進行空間頻率分析，通過檢測頻譜中的峰值位置，反推出對應的空間頻率$k$，進而解算出目標角度 $\theta$。

2. FFT的數學本質：離散空間傅里葉變換

假設陣列有 $N$ 個陣元，接收信號為 $x(n)$ ($n=0,1,\dots ,N?1$），則角度維FFT可表示為：
$$X(k)=\sum _{n=0}^{N?1}x(n)e^{?j\frac{2\pi }{N}kn}$$
當目標角度對應的空間頻率 $k$ 與FFT的某個頻率點 $k_p$ 匹配時，$X(k_p)$ 將出現峰值。通過峰值位置 $k_p$，結合空間頻率與角度的關系式，即可計算出目標角度：
$$\theta =\arcsin \left(\frac{k_p\lambda }{2\pi d}\right)$$
所以可以使用FFT來進行角度的換算。

后面的內容我們將介紹Capon算法 和 MUSIC 算法。