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前言

在上一篇文章中，深入介紹了QMF濾波器組的原理，并且基于原理也同樣給出了實現方式，它可以用于頻帶分割和完美重構。而本篇文章將會介紹一種高效多相抽取器的設計，它可以大大減少下采樣、上采樣、濾波器組等中的計算量，同樣可以改進QMF濾波器組的設計。

本篇文章將先介紹Polyphase 多項分解和Noble恒等式的定義和原理，其中得到Polyphase 分解 + Noble 恒等式 = 高效多相抽取器設計。并以QMF濾波器為例，最終實現更為高效的頻帶分割。

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一、Polyphase 多項分解

1.定義

Polyphase 多項分解（Polyphase Decomposition）是數字信號處理中一種對濾波器進行重構或分解的方法，廣泛應用于下采樣、上采樣、濾波器組（filter bank）等。

簡單來說，它可以將一個FIR濾波器的沖激響應（或系統函數）按照某種方式拆分為若干子濾波器（稱為 polyphase 分量），以便于在多速率處理（如抽取/內插）中實現更高效的計算。

2.拆分公式

對于長度為$N$的FIR濾波器，它的Z變換為：
$$H(z)=\sum _{n=0}^{N?1}h[n]z^{?n}$$
將其分解為$M$個polyphase分量為：
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M?1}{z}^{?k}{E}_k(z^M)$$
其中

• $E_k(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }h[nM+k]z^{?n}$
• $E_k(z^M)$：是第$k$個多項式，取$M$個系數中的第$k$個

例如我們將一個FIR濾波器分解為M個polyphose分量，那么系統的結構應該是：

   x[n]↓
+---多相分解---+
|              |
|    x_0[n] --> E_0(z^M) --+  
|    x_1[n] --> E_1(z^M) --+--> 疊加后輸出 y[n]
|    ...                   |
|    x_{M-1}[n] --> E_{M-1}(z^M) --+

3.推導過程

1）按模$M$拆分求和項

將索引$n$拆成兩部分:
$$n=Mm+k,0\le k<M,m=0,1,\dots$$
也就是說，我們把$h[n]$分組，每組第$k$個對應:

• $k=0：h[0],h[M],h[2M],....$
• $k=1：h[1],h[M+1],h[2M+1],....$
• $....$
• $k=M?1：h[M?1],h[2M?1],h[3M?1],....$

那么原始濾波器就變為：
$$H(z)=\sum _{n=0}^{N?1}h[n]z^{?n}=\sum _{k=0}^{M?1}\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{?(Mm+k)}$$
注意：當$Mm+k\ge N$時，$h[Mm+k]=0$，所以無窮求和也成立，實際上這個求和是形式上是無窮級數，但實際只有有限項非零，其實應該為${\sum }_{m=0}^{\frac{N?k?1}{M}}h[Mm+k]z^{?(Mm+k)}$

2）提取因子

現在將$z^{?(Mm+k)}=z^{?k}{z}^{?Mm}$拆分出來：
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M?1}{z}^{?k}\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{?Mm}$$
內層和是關于$m$的，是子濾波器的表達式。我們定義：
$$E_k(z)=\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{?m}?E_k(z^M)=\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{?mM}$$
最終得到：
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M?1}{z}^{?k}{E}_k(z^M)$$

4.總結

截止到當前內容，可以看到：

1. 多相分解本質上是濾波器的數學重構，不改變濾波器的頻率響應和功能
2. 只用 polyphase 分解結構組合出的濾波器，結果與原始 FIR 濾波器一樣
3. 此時并沒有節省計算，甚至由于多設計在實現時更復雜

那么本篇文章在一開始說多項分解是期望計算量可以大大減少，而這里并沒有減少計算量，這其實在一開始的定義中就已經說了，是配合抽取或插值時才使用 polyphase，這里就需要結合下面的內容——Noble恒等式。

二、Noble恒等式

1. 定義

假如現在有一個系統，在進行濾波后，需要進行抽取或者插值，那么使用Noble恒等式可以把濾波器移到抽取或插值前（或后），從而減少不必要的計算，以避免對冗余樣本進行濾波可顯著提高效率。

2.Noble恒等式表達方式

1）抽取系統的 Noble 恒等式

如果一個系統包含一個濾波器$H(z)$，后面跟著一個抽取器$\downarrow M$，那么根據Noble恒等式存在以下關系：
$$H(z)?\downarrow M=\downarrow M?H(z^M)$$
其表明了：將濾波器$H(z)$放在抽取器$\downarrow M$之前，等價于先抽取再使用濾波器$H(z^M)$，其中$H(z^M)$表示將濾波器頻率壓縮（頻譜展開）。

2）插值系統的 Noble 恒等式

如果一個系統包含一個插值器$\uparrow L$，后面跟著一個濾波器$H(z)$，那么根據Noble恒等式存在以下關系：
$$\uparrow L?H(z)=H(z^L)?\uparrow L$$
其表明了：在插值器后進行濾波，等價于先使用變換后的濾波器$H(z^L)$再進行插值）。

2.Nodble恒等式推導

值得注意的是：我們知道抽取等同于下采樣，而下采樣時需要考慮混疊現象的發生，Noble 恒等式之所以成立，前提是濾波器 $h[n]$是設計合理的，也就是說它已經足夠抑制抽取過程可能產生的混疊（aliasing）。

1）符號定義

以FIR濾波器+抽取為例，從上文可知，先濾波再抽取等于先抽取再濾波，即：
$$(x[n]?h[n])\downarrow M=(x[n]\downarrow M)?h[nM]$$
其中定義：

• $x[n]$: 原始輸入信號
• $h[n]$: FIR 濾波器的沖激響應
• $y[n]=x[n]?h[n]$: 卷積結果
• $x_e[n]=x[nM]$: 抽取后的輸入信號
• $h_e[n]=h[nM]$: 稀疏化后的濾波器
• $y_e[n]=y[nM]$: 抽取后結果

2）先濾波后抽取

• 對于FIR濾波為：
  $$y[n]=x[n]?h[n]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x[k]h[n?k]$$
• 再進行抽取即：
  $$y_e[n]=y[nM]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x[k]h[nM?k]$$
  注意：這里是對輸出也就是$y[n]$進行抽樣$M$，所以系統輸入$x[n]$不變，而FIR濾波器沖激響應應該只對于$nM?k$處存在響應。

3）先抽取后濾波

• 對于$x[n]$抽取：$x_e[n]=x[nM]$
• 對于稀疏濾波器響應：$h_e[n]=h[nM]$
• 帶入系統響應
  $$y_1[n]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }{x}_e[k]h_e[n?k]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x[kM]h[(n?k)M]$$

4）比較左右兩式

令$m=kM$，即上式：
$$y_1[n]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x[kM]h[(n?k)M]=\sum _{m=?\infty }^{\infty }x[m]h[(nM?m)]$$
而$x[kM]$只在$k=m$是$M$的整數倍處非零，所以$y_1[n]=y_e[n]$左右兩邊等式相同。

3.稀疏濾波器$H(z^M)$

從上式中，對于
$$y_1[n]=\sum _{m=?\infty }^{\infty }x[m]h[(nM?m)]$$
只在$M$的整數倍處非零，將原信號拉伸$M$倍，中間插入$M?1$個0。也就是說在系統的沖擊響應變成了如下形式：
$$[h[0],0,..0,h[M?1],0,..,0,n(M?1)]$$
根據語音信號處理二十八——采樣率轉換文章中上采樣的過程，這實際上就是插值0的處理，那么對于原濾波器：
$$H(z)=\sum _{n}h[n]z^{?n}?H(z^M)=\sum _{n}h[n]z^{?Mn}$$
對于系統的沖擊響應為：
$$h[n]?h^{\prime }[n]=\{\begin{array}{l}h[n/M],n\equiv 0(\mathrm{mod}M)\\ 0,otherwise\end{array}$$
也就是Noble的濾波器從$H(z)$變為了$H(z^M)$

4.計算量對比

步驟	先濾后抽	先抽后濾（用 Noble 恒等式）
處理采樣率	原始速率	降低后的速率（低 M 倍）
濾波器計算次數	所有輸入都要處理	只有每 M 個輸入處理一次
運算量	高	低
濾波器形態	原始 $H(z)$	$H(z^M)$：頻率壓縮，稀疏系數

三、高效多相抽取器

此時了解了polyphase多項分解和noble恒等式，那么現在就可以構造一個高效多項抽取器。

1.Polyphase和Noble的關系

• Polyphase中的$E_k(z^M)$：
  回到上文中Polyphase對于長度為$N$的FIR濾波器的分解：
  $$H(z)=\sum _{k=0}^{M?1}{z}^{?k}{E}_k(z^M)$$
  而$E_k(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }h[nM+k]z^{?n}$，得到$E_k(z^M)$為：
  $$E_k(z^M)=\sum _{n=0}^{\infty }h[nM+k]z^{?nM}$$
  根據語音信號處理二十八——采樣率轉換文章中上采樣的過程，這個Polyphase分量的子濾波器同樣是一個稀疏濾波器
• Noble中的$H(z^M)$：
  根據上文描述，它一樣是一個稀疏濾波器

總結：Polyphase多項分解中，各個子Polyphase分量濾波器已經變成了稀疏濾波器，即Noble恒等式中可以直接在Polyphase多項分解中直接使用。

2.設計一個抽取因子為$M$的系統

1）常規系統結構

x(n) ──? H(z) ──? ↓M ──? y(n)

即：輸入信號先通過濾波器$H(z)$，再進行抽取，如果使用常規辦法:

• 對每一個輸入樣本$x[n]$ 都應用完整的濾波器$H(z)$
• 然后只保留每隔$M$個樣本一個，丟棄其他

那么會存在以下缺點：

• 大部分濾波器輸出最終被丟棄了
• 運算量大

因此我們需要設計一個高效多相抽取器來解決運算量問題

項目	內容
原始結構	$x(n)\to H(z)\to \downarrow M$
問題	計算量大，大部分結果被丟棄
解決步驟	1）Polyphase 分解 2）應用 Noble 恒等式
得到的結構	只計算必要的濾波器輸出，每 $M$ 個輸入產生一次輸出，高效節省計算量

2）使用polyphase分解

根據上文中，先將$H(z)$分解為$M$個
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M?1}{z}^{?k}{E}_k(z^M)$$

3）使用Noble恒等式

根據上文，將抽取位置放到濾波之前，濾波器變為$H(z^N)$
$$H(z)?\downarrow M=\downarrow M?H(z^M)$$
即：

x(n) ──? H(z^M) ──? ↓M ──? y(n)

4）Polyphase + Noble

將Noble恒等式濾波器帶入，即最后系統結構變為
$$H(z^M)=\sum _{k=0}^{M?1}{z}^{?kM}{E}_k(z^{M^2})$$
對于這個式子，整個系統結構如同下圖：

5）整體的系統結構

• 根據上文中Polyphase和Noble的關系，實際上每個子Polyphase分量已經是稀疏濾波器，所以對于$E_k(z^{M^2})$只是用于表達，實際上應用的還是$E_k(z^M)$
• 雖然頻域表達上有$z^{?kM}$，是第k個polyphase 分量相對于整體濾波器輸出的時間偏移，但是它只是推導過程中出現的一個中間形式。在時域結構中，這個延遲已經隱含在多通道輸入順序和采樣調度中，不需要手動加 delay block。

所以整體的系統結構和上文中公式表述的結構區別如同下圖：

四、實現高效QMF濾波器組

1. 設計目標

使用Noble+polyphase多項分解實現一個QMF濾波器組，給出matlab代碼，要求：

1. 16k采樣率的信號，使用一個2kHz和6kHz的正弦信號
2. 對于原始序列進行頻帶分割和重組
3. 鏡像濾波器使用FIR濾波器設計，同時使用漢明窗

輸出：
4. 畫出原始序列的頻譜
5. 畫出分割后的低頻和高頻頻譜
6. 畫出重組后的頻譜
7. 畫出原始的時域圖和重組后的時域圖

2.設計思路

在上一篇文章中，語音信號處理二十九——QMF濾波器設計原理與實現已經介紹了QMF濾波器組中鏡像濾波器的設計原理，這里不再贅述，整體的思路如下：

步驟	描述
1	設計線性相位原型濾波器 $H_0(z)$
2	構造 $H_1(z)=H_0(?z)$
3	構造合成濾波器 $G_0(z)=H_0(z),G_1(z)=?H_0(?z)$
4	對所有濾波器進行 polyphase 分解
5	應用 Noble 恒等式將抽/插采樣前移/后移，提高效率
6	構建完整的濾波器組結構，實現高效 PR 系統

3.實現代碼

clc; clear; close all;
fs = 16000;
t = 0:1/fs:0.05;
x = sin(2*pi*2000*t) + sin(2*pi*6000*t);   % 輸入信號%% 設計 QMF 濾波器組
M = 64;                                    % 濾波器長度
h0 = fir1(M-1, 0.5, hamming(M));           % 低通濾波器
h1 = h0 .* ((-1).^(0:M-1));                % 高通鏡像濾波器% 多項分解：偶數項、奇數項
h0_even = h0(1:2:end);                     % E0
h0_odd  = h0(2:2:end);                     % E1
h1_even = h1(1:2:end);                     % E0'
h1_odd  = h1(2:2:end);                     % E1'% 將信號分為偶數采樣、奇數采樣（Noble 恒等式：下采樣前移）
x_even = x(1:2:end);     % 下采樣偶數點
x_odd  = x(2:2:end);     % 下采樣奇數點% 對下采樣信號分別使用 polyphase 分支濾波器
% 偶數采樣信號濾波
y0_even = filter(h0_even, 1, x_even);
y0_odd  = filter(h0_odd,  1, x_odd);y1_even = filter(h1_even, 1, x_even);
y1_odd  = filter(h1_odd,  1, x_odd);% 由于x_even和x_odd長度可能不同，取最小長度裁剪
min_len = min([length(y0_even), length(y0_odd), length(y1_even), length(y1_odd)]);y0 = y0_even(1:min_len) + y0_odd(1:min_len);
y1 = y1_even(1:min_len) + y1_odd(1:min_len);%% 合成濾波器組（多項 + 上采樣 + Noble）
% 合成濾波器多項
g0_even = h0_even; g0_odd = h0_odd;
g1_even = h1_even; g1_odd = h1_odd;v0_even = filter(g0_even, 1, y0);
v0_odd  = filter(g0_odd,  1, y0);
v1_even = filter(g1_even, 1, y1);
v1_odd  = filter(g1_odd,  1, y1);min_len2 = min([length(v0_even), length(v0_odd), length(v1_even), length(v1_odd)]);xr = zeros(1, 2*min_len2);
xr(1:2:end) = v0_even(1:min_len2) + v1_even(1:min_len2);
xr(2:2:end) = v0_odd(1:min_len2)  + v1_odd(1:min_len2);%% 頻譜可視化
NFFT = 1024;
f = fs*(0:NFFT/2-1)/NFFT;
X = fft(x, NFFT);figure;
subplot(2,3,1); plot(t, x); title('原始信號（時域）');
subplot(2,3,2); plot(f, abs(X(1:NFFT/2))); title('原始信號頻譜');% 畫低頻子帶頻譜\高頻子帶頻譜
fs_sub = fs / 2;   % 子帶采樣率 8kHz
f_sub = fs_sub*(0:NFFT/2-1)/NFFT;Y0 = fft(y0, NFFT);
Y1 = fft(y1, NFFT);subplot(2,3,3);
plot(f_sub, abs(Y0(1:NFFT/2)));
title('低頻子帶頻譜');
xlabel('頻率 (Hz)');
subplot(2,3,4);
plot(f_sub, abs(Y1(1:NFFT/2)));
title('高頻子帶頻譜');
xlabel('頻率 (Hz)');t_rec = (0:length(xr)-1) / fs;
X_rec = fft(x, NFFT);
subplot(2,3,5); plot(t_rec, xr); title('重構信號（時域）');
subplot(2,3,6); plot(f, abs(X_rec(1:NFFT/2))); title('重構信號頻譜');

4.輸出結果

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總結

高效多相抽取器是一種能夠在進行抽取處理時，將濾波操作和下采樣合并，顯著降低計算量的濾波器結構。

對于polyphase多項分解和Noble恒等式存在具體的數學推導應該很容易理解，主要是對于高效多項抽取器中兩者的組合，那里對于相位延遲和稀疏濾波器的地方容易放人混淆。

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