空間：組成空間的元素的線性組合都在這個空間中。

1. 矩陣空間

舉例：矩陣空間（$M$ 所有3x3的矩陣）
$M_{3?3}$的基
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
維度為9。

對稱矩陣($S$)的基，維度為6
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

上三角矩陣($U$)的基，維度為6
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

交集 和 和集

交集：$S\cap U=對角矩陣，維度是3$
和集：$S+U=M,dim(S+U)=9$

$$dim(S+U)+dim(S\cap U)=dim(S)+dim(U)$$

2. 所有解空間

對于 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+t=0,y=\underset{解基}{\underbrace{cosx,sinx}}$
解空間 $y=c_{1}cosx+c_{2}sinx$

3. $r=1$的矩陣

$$\underset{A_{2?3}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\\ 2& 8& 10\end{array}\right]}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\end{array}\right]$$
所有$r=1$的矩陣，可以拆成 $A=u{v}^T$

4. 題目

在$R^4$中，$V=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]$，$S=所有V在R^4中，滿足v_1+v_2+v_3+v_4=0。S能否構成子空間呢？$

能。相當于$AV=0，S=N(A)$
$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]}}\underset{V}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]}}=0$$
A矩陣的秩為1，$dim(N(A))=n?r=4?1=3$
S的基為（等價于求AV=0的解空間）
$$\left[\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}?1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}?1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

5. 小世界圖

圖的定義 g r a p h = { n o d e s , e d g e s } graph=\{nodes, edges\} graph={nodes,edges}