高等數學學習筆記 ? 函數的極限

1.? 函數的極限定義

備注：已知坐標軸上一點 $x_{0}$ ，則：

①： $x_{0}$ 的鄰域：指 $x_{0}$ 附近的開區間，記作 $U(x_{0})$ 。

②： $x_{0}$ 的去心鄰域：指 $x_{0}$ 附近的開區間，但不包含 $x_{0}$ ，記作 $\overset{o}{U}(x_{0})$ 。

③： $x_{0}$ 的 $\delta$ 鄰域：存在 $\delta>0$ ，那么 $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ 就是 $x_{0}$ 的 $\delta$ 鄰域，記作 $U(x_{0},\delta )$ 。

④： $x_{0}$ 的去心 $\delta$ 鄰域：存在 $\delta>0$ ，那么 $(x_{0}-\delta ,x_{0} )\cup (x_{0},x_{0}+\delta)$ 就是 $x_{0}$ 的去心 $\delta$ 鄰域，記作 $\overset{o}{U}(x_{0},\delta )$ 。

1. 當 $x\rightarrow x_{0}$ 時的極限：

（1）定義：已知函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內有定義，存在常數 $A$ ，對于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一個數)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??當 $0<|x-x_0{}|<\delta$ ,即 $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0} )\cup (x_{0},x_{0}+\delta)$ 時，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解釋：也就是當變量x屬于區間內時，函數f(x)的值都落在某區間內】

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 那么稱A為函數 $f(x)$ 的極限，記作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 。

備注：

①： $x\rightarrow x_{0}$ 的含義：指的是 $x$ 無限接近于 $x_{0}$ ，但永遠不等于 $x_{0}$ 。
②： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 的含義：指的是當 $x\rightarrow x_{0}$ 時，函數 $f(x)$ 的值無限接近于 $A$ 。
③：函數的極限研究的是當 $x\rightarrow x_{0}$ 過程中，函數 $f(x)$ 的值的變化趨勢，與函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處有無定義沒有關系。

④： $\delta$ 的取值與 $\varepsilon$ 有關，且 $\delta$ 不唯一。也就是說，任意給一個 $\varepsilon$ 就會有一個 $\delta$ 與之對應，這一點和數列的極限中的 $N$ 是一樣的。

⑤：證明函數的極限，根據函數的極限的定義可知，關鍵點就在于找到 $\delta$ 的值，若要找 $\delta$ 的值，出發點就在于

? ? ? ?當 $0<|x-x_0{}|<\delta$ 時，不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 是否成立。

（2）左極限與右極限：

? ①：左極限：已知函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內有定義，存在常數 $A$ ，對于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一個數)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當 $x_{0}-\delta <x<x_{0}$ 時，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 那么稱A為函數 $f(x)$ 的左極限，記作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=A$ 。

? ②：右極限：已知函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內有定義，存在常數 $A$ ，對于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一個數)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當 $x_{0} <x<x_{0}+\delta$ 時，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?那么稱A為函數 $f(x)$ 的右極限，記作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=A$ 。

備注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在? $\Leftrightarrow$ ? $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ ， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 都存在且相等。

②：對于分段函數而言，會涉及到左極限與右極限的討論。

2.?當 $x\rightarrow \infty$ 時的極限：

（1）定義：已知函數 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正數時有定義,存在常數 $A$ ,對于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一個數),若存在 $X (X >0)$ ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??當 $|x|>X$ 時,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么稱A為函數 $f(x)$ 的極限,記作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=A$ .

備注： $x\rightarrow \infty$ 包含了 $x\rightarrow +\infty$ 和 $x\rightarrow -\infty$ 。

（2）左極限與右極限：

? ①：左極限：已知函數 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正數時有定義,存在常數 $A$ ,對于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一個數),若存在 $X (X >0)$ ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當 $x<-X$ 時,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么稱A為函數 $f(x)$ 的極限,記作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A$ .

? ②：左極限：已知函數 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正數時有定義,存在常數 $A$ ,對于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一個數),若存在 $X (X >0)$ ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當 $x>X$ 時,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么稱A為函數 $f(x)$ 的極限,記作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A$ .

備注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$ 存在? $\Leftrightarrow$ ? $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)$ ， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$ 都存在且相等。

②：對于分段函數而言，會涉及到左極限與右極限的討論。

2.? 函數的極限性質

（1）唯一性：若函數 $f(x)$ 的極限存在，那么函數 $f(x)$ 的極限是唯一的。

（2）局部有界性：已知函數 $f(x)$ 的極限是存在的，若存在正數 $M(M>0)$ ，使得在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內，有 $|f(x)|\leq M$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則稱函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內是有界的。

（3）局部保號性：

? ①：已知函數 $f(x)$ 的極限是存在的，當 $A>0(A<0)$ 時，那么在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內， $f(x)>0(f(x)<0)$ 。

? ②：已知函數 $f(x)$ 的極限是存在的，當在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內 $f(x)\geq 0(f(x)>0)$ ，則 $A\geq 0$ 。

? ③：已知函數 $f(x)$ 的極限是存在的，當在 $x_{0}$ 的某去心鄰域內 $f(x)\leq 0(f(x)< 0)$ ，則 $A\leq 0$ 。

3.? 函數的極限與數列的極限

1. 區別：函數極限的逼近與數列極限的逼近特性不同，即函數可以連續的左右逼近一個點，而數列只能離散的左右逼近一個點。

2. 關系：若函數 $f(x)$ 的極限存在，即 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ ，則數列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的函數值數列極限存在，且為 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A$ ，反之是錯誤的。

備注：

①：討論函數的極限與數列的極限的關系時，數列的極限是數列的各個項對應的函數值所構成的函數值數列的極限。

②：可以理解為：數列的函數值構成的數列是函數的子列，故子列的極限存在，函數的極限不一定存在。

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