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\begin{document}\begin{CJK}{UTF8}{gkai}%正文放在此行下與\end{CJK}之間就行\tableofcontents\newpage\section{介紹}\label{sec:introduction}高等數學題庫，方便查詢公式、題目和答案及其 \LaTeX 代碼，可以在開卷的數學競賽中提高解析效率。\begin{itemize}\item 第\ref{sec:detail}節，基本數學符號和表達式\item 第\ref{sec:detail2}節，導數公式和題目\item 第\ref{sec:detail3}節，概率統計公式和題目\end{itemize}\section[基本數學符號和表達式]{基本數學符號和表達式}\label{sec:detail}平方根 $\sqrt{x}$立方根 $\sqrt[3]{x}$分數的代碼是 $\frac{a}{b}$求和的代碼是 $\sum_{i=1}^{n} i$積分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$一重積分 $$ \int_{x=0}^3 x^2\ = 9 $$二重積分號 $\iint$二重積分 $$ \iint dxdy = S $$三重積分號 $\iiint$三重積分 $$ \iiint dxdydz = V $$封閉積分 $\oint$平均積分 $\int\hspace{-0.95em}-\ f(x)\, \mathrm{d}x$極限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$乘積 $\prod_{i=1}^{n} a_i$無窮大 $\infty$正無窮大： $+\infty$負無窮大： $-\infty$圓周率 $\pi$虛數單位 $i$指數 $e^{x}$對數 $\log_{a} b$絕對值 $|x|$向量 $\vec{a}$希臘字母 $\alpha, \beta, \gamma, \Theta$上標 $x^2$下標 $x_i$\begin{table}[htbp]\centering\caption{希臘字母表}\begin{tabular}{|c|c|}  \hline  序號 & 希臘字母 \\ \hline1 & $\alpha$ \\ \hline2 & $\beta$ \\ \hline3 & $\gamma$ \\ \hline4 & $\delta$ \\ \hline5 & $\epsilon$ 或 $\varepsilon$ \\ \hline6 & $\zeta$ \\ \hline7 & $\eta$ \\ \hline8 & $\theta$ 或 $\vartheta$ \\ \hline9 & $\iota$ \\ \hline10 & $\kappa$ \\ \hline11 & $\lambda$ \\ \hline12 & $\mu$ \\ \hline13 & $\nu$ \\ \hline14 & $\xi$ \\ \hline15 & $o$ \\ \hline16 & $\pi$ \\ \hline17 & $\rho$ \\ \hline18 & $\sigma$ 或 $\varsigma$ \\ \hline19 & $\tau$ \\ \hline20 & $\upsilon$ \\ \hline21 & $\phi$ 或 $\varphi$ \\ \hline22 & $\chi$ \\ \hline23 & $\psi$ \\ \hline24 & $\omega$ \\ \hline\end{tabular}\end{table}矩陣：\begin{equation}\begin{gathered}\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\quad\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\quad\begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{Bmatrix}\quad\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\quad\begin{Vmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{Vmatrix}\end{gathered}\end{equation}單位矩陣 $$\begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0 \\0&0&1 \\\end{bmatrix}$$m×n矩陣 $$A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}} \\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}} \\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}} \\\end{bmatrix}$$行列式 $$D=\begin{vmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}} \\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}} \\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}} \\\end{vmatrix}$$多行公式\begin{equation}\begin{split}C(\mathcal{A},\mathcal{P},\mathcal{F}) & = \sum_{i\in\mathcal{N}-\{0\}} t_{i}^{process}\\&=\sum_{i\in\mathcal{N}-\{0\}}\left(\sum_{j\in\mathcal{N}}\alpha_{i,j}(t_{i,j}^{offloading}+t_{i,j}^{up}) \right.\\ &\left.+(1-\sum_{j\in\mathcal{N}}\alpha_{i,j})t_{i}^{l}\right)\end{split}\end{equation}角度符號可以寫為：$109^\circ 28^\prime 16^{\prime \prime}$省略號\ldots\vdots加粗符號 \textbf{x}斜體 \textit{$\Theta$}行列式的TeX代碼是 $\det A$偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x}$偏微分方程 $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=-2z$$$\frac{\partial u}{\partial t}= h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$一階微分方程 $$ \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)\\ \left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right|_{x=0} = 3x+1 $$二階微分方程 $$y''+py'+qy=f(x)\\\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$$基本函數 $$f(n)=\sum_{i=1}^{n}{n*(n+1)}$$$$x^{y}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy}$$ $$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$$$$y(x)=x^3+2x^2+x+1$$ 分段函數 $$f_n =\begin {cases}a  &\text {if $n=0$}  \\r \cdot f_{n -1} &\text {else}\end{cases}$$齊次方程 $$\left \{ \begin{array}{c}a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.$$\section[導數]{導數}\label{sec:detail2}\begin{table}[]  \centering  \caption{常用導數表}  \label{tab:derivative_table}\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline  序號 & 數學表達式 & 導數表達式 \\ \hline  1 & $f(x) = C$ & $f'(x) = 0$ \\ \hline  2 & $f(x) = x^n$ & $f'(x) = nx^{n-1}$ \\ \hline  3 & $f(x) = \sin x$ & $f'(x) = \cos x$ \\ \hline  4 & $f(x) = \cos x$ & $f'(x) = -\sin x$ \\ \hline  5 & $f(x) = \tan x$ & $f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ \\ \hline 6 & $f(x) = \cot x$ & $f'(x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ \\ \hline7 & $f(x) = \sec x$ & $f'(x) = \sec x \tan x = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ \\ \hline8 & $f(x) = \csc x$ & $f'(x) = -\csc x \cot x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ \\ \hline9 & $f(x) = \ln x$ & $f'(x) = \frac{1}{x}$ \\ \hline  10 & $f(x) = \ln(ax + b)$ & $f'(x) = \frac{a}{ax + b}$ \\ \hline 11 & $y = \ln[f(x)]$ & $y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ \\ \hline 12 & $f(x) = e^x$ & $f'(x) = e^x$ \\ \hline  13 & $f(x) = a^x$ & $f'(x) = a^x \ln a$ \\ \hline  14 & $f(x) = \log_a x$ & $f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$ \\ \hline  15 & $f(x) = \sqrt{x}$ & $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\ \hline  16 & $f(x) = \frac{1}{x}$ & $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ \\ \hline  17 & $f(x) = \sin(ax + b)$ & $f'(x) = a\cos(ax + b)$ \\ \hline  18 & $f(x) = \cos(ax + b)$ & $f'(x) = -a\sin(ax + b)$ \\ \hline  19 & $f(x) = \tan(ax + b)$ & $f'(x) = a\sec^2(ax + b)$ \\ \hline   20 & $f(x) = e^{ax + b}$ & $f'(x) = ae^{ax + b}$ \\ \hline  21 & $f(x) = (u \cdot v)$ & $f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'$ \\ \hline  22 & $y = f(g(x))$ & $y' = g'(x)f'(g(x))$ \\ \hline    23 & $y = f(g(x))$ & $y'' = g''(x)f'(g(x)) + g'^2(x)f''(g(x))$ \\ \hline  24 & $f(x) = \frac{u}{v}$ & $f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$ \\ \hline  25 & $y = \frac{f'(x)}{f(x)}$ & $y' = \frac{f''(x)f(x) - f'^2(x)}{f^2(x)}$ \\ \hline\end{tabular}  \end{table}\subsection{求一階導數及其值}\subsubsection{求一階導數方程的值}設$f(x)=10x^2$，試按定義求 $f'(-1)$。解：$f'(x)=20x$$f'(-1)=-20$。\subsubsection{求一階導數方程}設$f(x)=2x^2 + \ln x$， 試按定義求 $f''(x)$。解: $f''(x)=(1/x + 4x)'=4 - 1/x^2$。\subsection{求二階導數}設$f(x)=(x + 10)^6$，試按定義求 $f'''(2)$。解: $f'''(x)=(6(10 +x)^5)''=(30(10 + x)^4)'=120(10 +x)^3$，$f'''(2)=207360$。設$f''(x)$存在，求函數$y=f(x^2)$的二階導數$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$。解: $y'=2xf'(x^2)$，$y''=2f'(x^2) + 4f''(x^2)x^2$。\subsection{求解函數在某一點的切線與法線方程}求曲線$y=\cos x$上點$(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$處的切線方程和法線方程。解：$y'|_{x=\frac{\pi}{3}}=(-\sin x)|_{x=\frac{\pi}{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，故曲線在點$(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$處的切線方程為：$y=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}\left(-\frac{\pi}{3} + x\right)$，曲線在點$(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$處的法線方程為：$y=\frac{1}{2} + \frac{-\frac{\pi}{3} + x}{2\sqrt{3}}$。\section[概率論與數理統計]{概率論與數理統計}\label{sec:detail3}\begin{table}[]\centering\caption{部分概率統計符號表}\begin{tabular}{|c|c|p{8cm}|}\hline序號 & 符號 & 用途說明 \\ \hline1 & $P(A)$ & 事件A的概率 \\ \hline2 & $P(AB)$ & 事件A和事件B同時發生的概率，若事件A與事件B互不相容，則$P(AB) = 0$\\ \hline3 & $P(A|B)$ & 在事件B發生的條件下，事件A發生的條件概率 \\ \hline4 & $\overline{A}$ & 事件A的對立事件（非A） \\ \hline5 & $\overline{A}\overline{B}$ & 事件A不發生且事件B也不發生的情況 \\ \hline6 & $P(A \cup B)$ & 事件A或事件B至少有一個發生的概率 \\ \hline7 & $P(A \cap B)$ & 事件A和事件B同時發生的概率 \\ \hline8 & $\varnothing$ & 空集（沒有元素的集合） \\ \hline9 & $X$ & 隨機變量 \\ \hline10 & $E(X)$ & 隨機變量X的期望（均值） \\ \hline11 & $Var(X)$ & 隨機變量X的方差 \\ \hline12 & $Cov(X,Y)$ & 隨機變量X和Y的協方差 \\ \hline13 & $\rho_{XY}$ & 隨機變量X和Y的相關系數 \\ \hline14 & $\sigma^2$ & 方差的一般表示符號 \\ \hline15 & $\mu$ & 均值的一般表示符號 \\ \hline16 & $f(x)$ & 連續型隨機變量的概率密度函數 \\ \hline17 & $F(x)$ & 隨機變量的累積分布函數 \\ \hline18 & $\boldsymbol{\chi}^2$ & 卡方分布 \\ \hline19 & $t$ & t分布 \\ \hline20 & $F$ & F分布 \\ \hline21 & $Beta(a,b)$ & Beta分布 \\ \hline22 & $Poisson(\lambda)$ & 托塞分布 \\ \hline23 & $N(\mu,\sigma^2)$ & 正態分布 \\ \hline\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{隨機事件運算公式表}\begin{tabular}{|c|p{6cm}|p{9cm}|}\hline序號 & 隨機事件運算公式 & 說明 \\ \hline1 & $A \cup B$ & 事件的并集，表示事件A發生或事件B發生或兩者都發生的情況。 \\ \hline2 & $A \cap B$ & 事件的交集，表示事件A和事件B同時發生的情況。 \\ \hline3 & $\overline{A}$ & 事件的補集，表示事件A不發生的情況。 \\ \hline4 & $A - B$ & 事件的差集，表示事件A發生但事件B不發生的情況。 \\ \hline5 & $A \oplus B$ & 事件的對稱差集，表示事件A發生而B不發生，或事件B發生而A不發生的情況。 \\ \hline6 & $(A \cup B)C = AC \cup AB$ &  事件A和B，A和C相互獨立的情況下的概率分配律 \\ \hline7 & $AC \cap (AB \cup C) = ABC \cup AC = AC$ & 隨機事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，$BC = \oslash$，由事件的運算性質分配律可知。 \\ \hline8 & $P(AB) = P(A)P(B)$ & 在事件A和B相互獨立的情況下成立。 \\ \hline9 & $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(B) \cdot P(A|B)$ & 并集的概率公式，用于計算兩個事件至少有一個發生的概率。 \\ \hline10 & $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ & 條件概率公式，用于計算兩個事件同時發生的概率。 \\ \hline11 & $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ & 條件概率公式的另一種形式，也用于計算兩個事件同時發生的概率。 \\ \hline12 & $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ & 補集的概率公式，表示事件A不發生的概率。 \\ \hline13 & $P(A \oplus B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$ & 對稱差集的概率公式，表示A和B中只有一個發生的概率。 \\ \hline14 & $P(A\overline{B}) = P(A - B) = P(A) - P(AB)$ & 公式  $P(A\overline{B}) = P(A - B) $表明，事件A發生但B不發生的概率，與事件A中去掉與B同時發生的部分后剩下的部分的概率是相等的。公式 $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) $提供了計算 P(A?B) 的具體方法，即先計算事件A發生的總概率，然后從中減去事件A和B同時發生的概率。 \\ \hline15 & $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ & 在事件B已經發生的條件下（即在樣本空間 B 中），事件A發生的概率就是事件A和B同時發生的樣本空間在事件B的樣本空間中的比例。 \\ \hline16 & $P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}$ & $A\overline{B}$表示A發生且B不發生，這可以看作是A發生但去掉A和B同時發生的部分，即：$P(A\overline{B}) = P(A - B) = P(A) - P(AB)$事件$\overline{B}$表示B不發生，其概率為：$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$因為任何事件發生的概率加上它不發生的概率總是1。將上述兩個關系代入條件概率的公式中。 \\ \hline17 & $P((A \cup B)C) = P(AC \cup AB) = P(AC) +  P(BC) - P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$ & 在事件A、B、C相互獨立的情況下，概率分配律和加法公式的展開。 \\ \hline\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{概率性質表}\label{tab:prob_properties}\begin{tabular}{|c|p{6cm}|p{8cm}|}\hline序號 & 概率性質運算公式 & 概率性質運算公式的說明 \\ \hline1 & $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ & 并集的概率等于各自概率之和減去交集的概率（加法公式） \\ \hline2 & $P(\overline{A} \cup \overline{B}) =  P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(AB)$ & 事件A和B同時不發生的概率與它們同時發生的概率之間的互補關系 \\ \hline3 & $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = P(B) \times P(A|B)$ & 條件概率與聯合概率的關系（乘法公式） \\ \hline4 & $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ & 某個事件不發生的概率等于1減去該事件發生的概率（補集的概率） \\ \hline5 & $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ & 在B發生的條件下A發生的概率（條件概率） \\ \hline6 & $P(A-B) = P(A) - P(AB)$ & 事件A發生但事件B不發生的概率，也可以理解為事件A與事件B的補集（即非B）的交集的概率。而 P(A) 是事件A發生的概率，P(AB) 是事件A和事件B同時發生的概率。 \\ \hline7 & $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots$ & 任意數量事件的并集的概率（包含-排除原理） \\ \hline8 & 由于$AB \subset A$，$AB \subset B$，按概率的性質有$P(AB) \leqslant P(A)$ 且$P(AB) \leqslant P(B)$，因此$P(AB) \leqslant \frac{P(A) + P(B)}{2}$ & 兩個事件同時發生的概率（即它們的交集的概率）不會超過其中任何一個事件單獨發生的概率 \\ \hline9 & $P(AB)=P(ABC)+P(AB \cap \overline{C})$ & 事件A、事件B發生可以分為兩種情況：一種是事件C也發生，即$P(ABC)$；另一種是事件C不發生，即我們要求的$P(AB \cap \overline{C})$，它表示事件A、事件B發生且事件C不發生的概率。\\ \hline10 & $P(AB|\overline{C})=\frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{P(AB\overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{P(\overline{C})}$ & 計算在給定某個條件（這里是事件C不發生）下，兩個事件（這里是事件A和事件B）同時發生的概率。 \\ \hline11 & $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$ & 事件A、B、C中至少有一個發生的概率。 \\ \hline12 & $P(ABC) = P(AB)P(C)$ & A，B，C是3個隨機事件，且A，C相互獨立，B，C相互獨立，則$A \cup B$與C相互獨立的充分必要條件是AB，C相互獨立。 \\ \hline% 你可以繼續添加更多的行\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{等可能概型表}\label{tab:my_label}\begin{tabular}{|c|p{5cm}|p{8cm}|}\hline序號 & 等可能概型公式 & 等可能概型公式說明 \\ \hline1 & $P(A) = \frac{m}{n}$ & 其中，$A$是某一事件，$m$是該事件包含的基本事件個數，$n$是樣本空間中基本事件的總數，且所有基本事件發生的可能性相等。 \\ \hline2 & $P(A_i) = \frac{1}{n}$ & 當每個基本事件$A_i$發生的概率都相等時，且共有$n$個基本事件時，每個基本事件$A_i$發生的概率為$\frac{1}{n}$。 \\ \hline% 這里可以添加更多的行\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\centering\caption{條件概率與事件的相互獨立性表}\label{tab:conditional_independence}\begin{tabular}{|c|p{6cm}|p{8cm}|} \hline序號 & 運算公式 & 說明 \\ \hline1 & $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ & 條件概率的定義，當$P(B) > 0$ \\ \hline2 & $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ & 條件概率的另一種形式 \\ \hline3 & $A \perp B$ 或 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ & 事件A和B相互獨立 \\ \hline4 & $P(A|B) = P(A)$ & 當事件B發生時，事件A發生的概率不變，即A、B獨立 \\ \hline5 & $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)$ & 條件概率鏈式法則 \\ \hline6 & $A \perp B \text{ 且 } B \perp C \nRightarrow A \perp C$ & 獨立性的非傳遞性 \\ \hline7 & $P(AC|AB \cup C) = \frac{P(AC \cap (AB \cup C))}{P(AB \cup C)} = \frac{P(A)P(C)}{P(A)P(B) + P(C)}$ & 隨機事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，$BC = \oslash$時的條件概率公式 \\ \hline\end{tabular}\end{table}\begin{table}[]\caption{全概率公式與貝葉斯公式表}\begin{tabular}{|c|c|p{8cm}|}\hline序號 & 全概率公式與貝葉斯公式 & 說明 \\ \hline1 & $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A | B_i)$ & 全概率公式，用于計算事件A發生的概率，其中$B_1, B_2, ..., B_n$是完備事件組，且$P(B_i) > 0$ \\ \hline2 & $P(B_i | A) = \frac{P(B_i) P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) P(A | B_j)}$ & 貝葉斯公式，用于計算在事件A已經發生的條件下，事件$B_i$發生的條件概率 \\ \hline\end{tabular}\label{tab:probability_formulas}\end{table}\subsection{古典概型}在5雙不同的鞋子中任取4只，則這4只鞋子中至少有2只鞋子配成1對的概率是多少?解：這是一個古典概型問題。設$A=$“所取的4只鞋子中至少有2只鞋子配成1對”，則$\overline{A}=$“所Q取的4只鞋子中，沒有2只能配成1對”。首先，在10只鞋子中隨機取4只，因此樣本點總數$n=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)=210$,又$\overline{A}$可表現為先從5雙中取4雙，再從每雙中各取1只，因此事件A的樣本點個數$n_A=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)=80$，從而$P(A) =1-P(\overline{A})=1-\frac{80}{210}=\frac{13}{21}$注1：古典概型的解題關鍵是計算樣本空間的樣本點總數n和隨機事件A的樣本點個數$n_A$。因此，應該先分析完成隨機試驗和隨機事件的先后步驟，并正確計算每個步驟的結果數。在計數過程中恰當地使用“排列”或“組合”。注2：當求解一個較復雜的事件概率時，常常考慮求它的逆事件，可以簡化問題求解。將紅、黑、白3個球放置到4個不同的盒子中去(設盒子足夠大，可以容納所有的球)，求下列事件的概率：(1)3個球都在某一指定的盒子里；(2)3個球都在某一盒子里；(3)指定的3個盒子里各有1個球；(4)3個球在不同的3個盒子里。解：這是一個古典概型問題。首先，將3個球放入4個盒子，因此樣本點總數$n=4^3=64$。(1)設A=“3個球都在某一指定的盒子里”，則$P(A)=\frac{1}{64}$；(2)設B=“3個球都在某一盒子里”，B與A的區別在于:A中盒子已經事先確定了，而B中盒子沒有事先確定，因此B比A多了選盒子的過程，事件B的樣本點個數$n_B=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)=4$.所以$P(B)=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}$；(3)設C=“指定的3個盒子里各有1個球”，將不同顏色的球放入指定的3個盒子，事件C的樣本點個數$n_c=A^3_3= 6$，所以$P(C)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$；(4)設D=“3個球在不同的3個盒子里”，D與C的區別在于：D比C多了選盒子的過程，事件D的樣本點個數$n_D=A^3_4=24$，所以$P(D)=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$。設袋中有紅、白、黑球各1個，從中有放回地取球，每次取1個，直到3種顏色的球都取到為止，則取球次數恰為4的概率為$\frac{2}{9}$。解：設事件A=“直到3種顏色的球都取到為止，則取球次數恰為4次”，不妨定義事件B=“前3次取球中紅色出現2次，白色出現1次，或白色出現2次，紅色出現1次”，$P(B) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)^2\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{9}$。事件C=“第4次取球取到黑色”，顯然$P(C) = \frac{1}{3}$，則事件BC表示事件A中的一種情況，且由于是有放回地取球，因此事件B與事件C相互獨立，$P(BC) = P(B)P(C) = \frac{2}{9} \times \frac{1}{3}$。類似地，事件A還可以有另外兩種情況，即第4次出現的顏色是紅色或白色，所以共有3種不同的情況，因此$P(A) = 3 \times P(B)P(C) = 3 \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。\subsection{事件的獨立性和互斥性（或不相容性）}對于任意事件A和B，有若$AB \neq \oslash$，則A，B有可能獨立。這個問題涉及到概率論中兩個重要但容易混淆的概念：事件的獨立性和事件的互斥性（或稱為不相容性）。為了清晰地理解這兩個概念及其區別，我們可以從以下幾個方面進行闡述：1. 事件的獨立性定義：如果兩個事件A和B滿足$P(AB) = P(A)P(B)$，則稱事件A和B是獨立的。解釋：- 獨立性是描述兩個事件之間在概率上的一種關系，即一個事件的發生不影響另一個事件發生的概率。- 獨立性并不要求事件A和B必須同時發生（即$AB \neq \oslash$），也不要求它們不能同時發生（即$AB \neq \oslash$的否定）。- 獨立性是概率論中的一個重要概念，它允許我們在計算復合事件的概率時，將問題分解為更簡單的問題。2. 事件的互斥性（或不相容性）定義：如果兩個事件A和B滿足$AB = \oslash$，則稱事件A和B是互斥的（或不相容的）。解釋：- 互斥性是描述兩個事件在發生上的一種關系，即兩個事件不能同時發生。- 互斥性是事件本身的性質，與概率無關。無論這兩個事件的概率是多少，只要它們不能同時發生，就是互斥的。- 互斥性與獨立性是兩個完全不同的概念。互斥的事件不一定獨立（例如，在拋擲一個骰子的實驗中，事件“點數為1”和事件“點數為2”是互斥的，但不是獨立的，因為知道一個事件發生后，另一個事件就不可能發生了），而獨立的事件也不一定互斥（例如，在拋擲兩個獨立骰子的實驗中，兩個骰子都出現點數為1的事件是獨立的，但不是互斥的，因為兩個事件可以同時發生）。3. 總結- 事件的獨立性是描述兩個事件在概率上的一種關系，即一個事件的發生不影響另一個事件發生的概率。- 事件的互斥性是描述兩個事件在發生上的一種關系，即兩個事件不能同時發生。- 兩者是兩個不同的概念，之間沒有必然的聯系。一個事件可以與另一個事件既獨立又互斥（但這在實際情況中很少見），也可以只滿足其中一個條件，或者兩個條件都不滿足。解：注意A與B獨立的條件是$P(AB) = P(A)P(B)$，是一個關于事件概率的性質。而$AB = \oslash$是指A與B互不相容，是事件本身的性質，與概率性質無關，兩者是兩個不同的概念，之間無必然關系，因此若$AB \neq \oslash$，則A，B有可能獨立。\subsection{獨立事件和條件概率}設隨機事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，$BC = \oslash$，$P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$，$P(AC|AB \cup C) = \frac{1}{4}$，求P(C)。解：這是一道綜合性的考試真題，涉及事件的性質、事件的互斥與獨立的定義和條件概率的求解。由條件概率公式知：$P(AC|AB \cup C) = \frac{P(AC \cap (AB \cup C))}{P(AB \cup C)}$由事件的運算性質分配律可知$AC \cap (AB \cup C) = ABC \cup AC = AC$，由A與C相互獨立可知$P(AC) = P(A)P(C)$。由$BC = \oslash$可知AB與C互不相容，所以$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$，由A與B相互獨立可知$P(AB) = P(A)P(B)$，即$P(AC|AB \cup C) = \frac{P(A)P(C)}{P(A)P(B) + P(C)} = \frac{0.5P(C)}{0.5 \times 0.5 + P(C)} = \frac{1}{4}$，經計算可得$P(C) = \frac{1}{4}$。這是一道關于概率論中獨立事件和條件概率的題目。首先，我們需要理解題目給出的條件和要求，然后逐步推導出答案。題目條件：1.隨機事件A與B相互獨立。2.隨機事件A與C相互獨立。3.$BC = \oslash$（即事件B和C是互斥的，不能同時發生）。4.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.5。5.需要求解的是 P(C)。解題步驟：1.理解獨立性和互斥性：- 獨立性：如果事件A的發生不影響事件B的發生概率，則稱A與B獨立。即 $P(AB) = P(A)P(B)$。- 互斥性：如果事件A和B不能同時發生，則稱A與B互斥。即 $P(AB) = 0$。2.應用條件概率公式：題目中并未直接給出求P(C)的直接條件，但給出了$P(AC|AB \cup C)$的表達式（盡管這個表達式在解題過程中并未直接使用）。不過，我們可以利用獨立性和互斥性來構建與P(C) 相關的等式。3.利用事件的運算性質：- $AC \cap (AB \cup C) = AC$（因為AC已經是$AB \cup C$的子集）。- 由于A與C獨立，有$P(AC) = P(A)P(C)$。- 由于$BC = \oslash$，則AB與C互不相容，即$P(AB \cap C) = 0$。因此，$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$。4.構建等式求解 P(C)：- 雖然題目中未直接使用條件概率$P(AC|AB \cup C)$，但我們可以利用 P(AC) 和$P(AB \cup C)$的關系來構建等式。然而，在本題中，更直接的方法是利用獨立性和$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$。- 由于 A 與 B 獨立，$P(AB) = P(A)P(B)= 0.5 \times 0.5 = 0.25$。- 將 P(AB) 和 P(C) 代入$P(AB \cup C) = P(AB)+P(C)$，得到 0.25 + P(C)。- 接下來，我們需要找到一個與 P(C) 直接相關的等式。由于 A 與 C 獨立，我們可以考慮 P(AC)，即 P(AC)=P(A)P(C)=0.5P(C)。但這里需要注意的是，題目并未直接要求使用 P(AC) 來求解，因此這一步主要是展示獨立性的應用。- 然而，在沒有其他額外信息的情況下，我們實際上無法直接通過等式求解 P(C)，因為題目沒有給出足夠的信息來構建一個只包含 P(C) 的等式。但通常，在類似的題目中，可能會給出更多關于 P(C) 或其他相關事件的概率信息。5.注意：- 在本題中，由于信息不足，我們無法直接計算出 P(C) 的確切值。- 題目可能是一個簡化的版本，用于說明獨立性和互斥性的概念，以及如何在概率論中應用這些概念。總結：這道題目展示了如何在概率論中處理獨立事件和互斥事件，并如何利用這些性質來構建等式。然而，由于信息不足，我們無法直接求解 P(C)。在實際應用中，通常需要更多的信息來構建一個完整的等式系統，從而求解出未知的概率值。\subsection{事件的兩兩獨立定義和并事件的概率求解}設兩兩獨立的事件A，B和C滿足條件：$ABC = \oslash$，$P(A) = P(B) = P(C) < \frac{1}{2}$，且已知$P(A \cup B \cup C) = \frac{9}{16}$，求P(A)。解：這是一道涉及事件的兩兩獨立定義和并事件的概率求解的題目。因A、B、C兩兩獨立，則$P(AB) = P(A)P(B)$，$P(AC) = P(A)P(C)$，$P(BC) = P(B)P(C)$，又$P(A) = P(B) = P(C)$，則$P(AB) = P(AC) = P(BC) = [P(A)]^2$，所以$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) = 3P(A) - 3[P(A)]^2 = \frac{9}{16}$。此方程得$P(A) = \frac{1}{4}$或$P(A) = \frac{3}{4}$，再由已知條件$P(A) < \frac{1}{2}$，得$P(A) = \frac{1}{4}$。\subsection{事件的性質、概率的性質和獨立性的定義}設A，B，C是3個隨機事件，且A，C相互獨立，B，C相互獨立，則$A \cup B$與C相互獨立的充分必要條件是AB，C相互獨立。解：這是一道涉及事件的性質，概率的性質和獨立性的定義等。首先，由事件的運算性質分配律可知，$(A \cup B)C = AC \cup AB$，由概率的加法公式可展開為：$P((A \cup B)C) = P(AC \cup AB) = P(AC) +  P(BC) - P(ABC)$。又因A，C相互獨立，所以，$P(AC) = P(A)P(C)$；B，C相互獨立，所以，$P(BC) = P(B)P(C)$。因此，可得$P((A \cup B)C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(ABC)$。另一方面，$P(A \cup B)P(C) = (P(A) + P(B) - P(AB))P(C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$。顯然，$A \cup B$與C相互獨立的充分必要條件是$P(ABC) = P(AB)P(C)$，故$A \cup B$與C相互獨立的充分必要條件是AB，C相互獨立。為了理解這道概率論題目和它的答案，我們需要逐步分析題目中的條件和結論。題目分析題目條件：- 設A，B，C是3個隨機事件。- A與C相互獨立。- B與C相互獨立。題目要求：- 找出$A \cup B$（A和B的并集）與C相互獨立的充分必要條件。解題思路：1.理解事件獨立性的定義：- 如果兩個事件A和B相互獨立，那么$P(AB) = P(A)P(B)$。2.利用概率的分配律和加法公式：- 分配律：$(A \cup B)C = AC \cup ABC$- 加法公式：$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(EF)$，用于計算兩個事件的并集的概率。3.將獨立性和概率公式結合：- 計算$P((A \cup B)C)$使用加法公式，并結合A與C、B與C的獨立性。- 同時，計算$P(A \cup B)P(C)$，并比較兩者是否相等，以確定$A \cup B$與C是否獨立。解題步驟：1.計算$P((A \cup B)C)$：- 利用分配律和加法公式，得到$P((A \cup B)C) = P(AC) + P(ABC) - P(ABC)$（注意，第三項實際上與第二項重復，因此可以忽略）。- 由于A與C、B與C獨立，所以$P(AC) = P(A)P(C)$，$P(BC) = P(B)P(C)$（雖然B與C的獨立性在計算P((AUB)C)時未直接使用，但它是題目給出的條件）。- 因此，$P((A \cup B)C) = P(A)P(C) + P(ABC)$。2.計算$P(A \cup B)P(C)$：- 利用加法公式和獨立性定義，得到$P(A \cup B)P(C) = (P(A) + P(B) - P(AB))P(C)$。- 展開后得：$P(A \cup B)P(C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$。3.比較兩個概率：- 要使$A \cup B$與C獨立，需要$P((A \cup B)C) = P(A \cup B)P(C)$。- 將上述兩個表達式相等，得到：$P(A)P(C) + P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$。- 化簡后得到：$P(ABC) = P(AB)P(C)$。結論：- 因此，$A \cup B$與C相互獨立的充分必要條件是$P(ABC) = P(AB)P(C)$。\subsection{幾何概型問題}隨機地向半圓$0<y<\sqrt{2ax-x^2}$(a為正常數)內擲一點，點落在半圓內任何地方的概率與區域的面積成正比，則原點和該點的連線與x軸的夾角小于$\frac{\pi}{4}$的概率為$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}$。解：這是一個幾何概型問題。二元方程$y=\sqrt{2ax-x^2}$的曲線是一個以(a,0)為圓心，a為半徑，與x軸相交的半圓扇形區域，相交點為(0,0)和(2a,0)，隨機點與坐標原點的連線與x軸正向夾角不超過$\frac{\pi}{4}$，當且僅當點落在由方程$y=\sqrt{2ax-x^2}$的曲線，y=x，y=0所圍成的一個扇形區域D內，其面積為四分之一圓面積與一個三角形面積之和，再記事件A={原點和擲點的連線與x軸的夾角小于$\frac{\pi}{4}$}，則事件A的發生概率為邊長為a的直角等腰三角形與半徑為a的$\frac{1}{4}$圓的面積之和除以半圓的面積：$P(A)=\frac{\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}\pi a^2}{\frac{1}{2}\pi a^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}$。注：幾何概型的解題關鍵是將樣本空間和隨機事件正確地用幾何圖形來表述。\subsection{貝葉斯問題}設工廠A和工廠B的次品率分別是1\%和2\%，現從A和B的產品分別占60\%和40\%的一批產品中隨機抽取一件，發現是次品，求該次品是由A廠生產的概率。解：這是一個貝葉斯問題。設$A_1$表示“抽到的產品是由A廠生產的”，$B_1$表示“抽到的是次品”，則$P(A_1) = 0.6$，$P(\overline{A_1}) = 0.4$，$P(B_1|A_1) = 0.01$，$P(B_1|\overline{A_1}) = 0.02$。由全概率公式有$P(B_1) = P(A_1)P(B_1|A_1) + P(\overline{A_1})P(B_1|\overline{A_1}) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.014$，再由貝葉斯公式有$P(A_1|B_1) = \frac{P(A_1)P(B_1|A_1)}{P(B_1)} = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{3}{7}$，即該次品是由A廠生產的概率為$\frac{3}{7}$。這個問題是一個典型的貝葉斯問題，涉及到條件概率和先驗概率、后驗概率的計算。我們需要理解并應用貝葉斯定理來解決這個問題。首先，我們定義以下事件：- $A_1$：表示“抽到的產品是由A廠生產的”。- $\overline{A_1}$：表示“抽到的產品不是由A廠生產的”，即是由B廠生產的。- $B_1$：表示“抽到的是次品”。根據題目，我們已知以下概率：- $P(A_1) = 0.6$：從A廠生產的產品中抽取的概率。- $P(\overline{A_1}) = 0.4$：從B廠生產的產品中抽取的概率（因為A和B的產品分別占60%和40%）。- $P(B_1|A_1) = 0.01$：在A廠生產的產品中，次品的概率。- $P(B_1|\overline{A_1}) = 0.02$：在B廠生產的產品中，次品的概率。接下來，我們使用全概率公式來計算在不知道產品來源的情況下，抽到次品的概率$P(B_1)$：$P(B_1) = P(A_1)P(B_1|A_1) + P(\overline{A_1})P(B_1|\overline{A_1}) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.014$最后，我們使用貝葉斯公式來計算在已知抽到次品的情況下，該次品是由A廠生產的概率$P(A_1|B_1)$：$P(A_1|B_1) = \frac{P(A_1)P(B_1|A_1)}{P(B_1)} = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{3}{7}$這個計算結果表明，在隨機抽取到一件次品的情況下，該次品有$?\frac{3}{7}$?的概率是由A廠生產的。這個概率小于A廠產品在總體中的比例（60\%），說明盡管A廠的次品率較低（1\%），但由于B廠的次品率更高（2\%），且B廠產品在總體中也有一定比例（40\%），因此當抽到次品時，它來自B廠的可能性相對較大。\subsection{決策優化和概率論結合}小明玩戰機游戲。初始積分為2。在游戲進行中，積分會隨著時間線性地連續減少(速率為每單位時間段扣除1)。游戲開始后，每隔一個隨機時間段(時長為互相獨立的參數為1的指數分布)，就會有一架敵機出現在屏幕上。當敵機出現時，小明立即進行操作，可以瞬間擊落對方，或者瞬間被對方擊落。如被敵機擊落，則游戲結束。如小明擊落敵機，則會獲得1.5個積分，并且可以選擇在擊落該次敵機后立即退出游戲，或者繼續游戲。如選擇繼續游戲，則須等待到下一架敵機出現，中途不能主動退出。游戲的難度不斷遞增:出現的第n架敵機小明擊落對方的概率為$0.85^n$”，被擊落的概率為$1-0.85^n$，且與之前的事件獨立。在任何時刻，如果積分降到0，則游戲自動結束。如果游戲中，小明被擊落后，其之前的積分保持。那么為了游戲結束時的累積積分的數學期望最大化，小明應在擊落第2架敵機時主動結束游戲。由于小明被擊落后積分保持，目標是最大化游戲結束時的累積積分，所以每次擊落敵機后，小明可以選擇是否繼續游戲，關鍵在于比較繼續游戲的期望收益與立即結束的當前積分。這是一道關于決策優化和概率論結合的問題，解題思路主要圍繞“如何最大化小明的累積積分”展開。小明初始積分為2分，積分隨時間線性減少（每單位時間減1）。敵機按指數分布隨機時間間隔出現，小明可選擇擊落敵機獲得1.5分或被敵機擊落導致游戲結束。小明擊落敵機的概率隨敵機編號n增加而遞減（概率為$0.85^n$，被擊落概率為$1 - 0.85^n$。敵機的出現是一個參數為1的泊松點過程(如需避免連續時間隨機過程，這里也可用指數分布的無記憶性)。在任意時刻，每進行一個單位時間段，小明減少的積分為1。在擊落每架敵機后，小明增加的積分為1.5。在這之后，每進行一個單位時間段，小明擊落敵機的期望收益為$1.5(0.85)^n$。(1)在這種情況下，被敵機擊落的期望損失為0。那么我們選擇最大的n，使得$1.5(0.85)^n>1$，即$n=2$。通過計算可知，當小明擊落第二架敵機后繼續游戲的期望收益開始小于當前積分，因此最優策略是擊落第二架敵機后立即結束游戲。假設游戲中，小明被擊落后，其之前積累的積分會清零。那么為了結束時的期望積分最大化，小明也會選擇一個最優的時間主動結束游戲。請問在游戲結束時(小明主動結束、或積分減到0)，最接近游戲結束時小明的整數期望積分是2。由于小明被擊落后積分清零，目標是最大化結束時的期望積分，所以，可以通過計算不同情況下積分的數學期望，發現最優策略是等待第一架敵機出現，將其擊落后立即結束游戲，這是因為擊落第一架敵機后繼續游戲的期望積分增長不足以彌補時間帶來的積分損失。假設擊落第n-1架敵機后，小明所擁有的積分為t。如選擇繼續等待到下一架敵機出現后結束游戲，積分的數學期望為：$0.85^n \times \int_{0}^t (t +1.5 - x)e^{-x} dx = 0.85^n \times (t + 0.5 \times (1 - e^{-t}))$ 當n=1且t≤2時，上式總是大于t。因此小明至少要等到第一架敵機出現。假如小明擊落了第一架敵機，那么其手中積分至少為1.5。當n=2 且t≥1.5時，式子總是小于t。因此，假設小明已經擊落了第一架敵機，那么選擇“立即結束游戲”總是優于“擊落第二架敵機后立即結束”。由第一問可知，無論小明現有積分為多少，其最優結束時間都應該不晚于擊落第二架敵機。綜上可得，小明的最優策略為:等待第一架敵機出現，將其擊落后立即結束游戲。在此策略下，小明最終積分的期望應為式子在n=1及t=2時的值，約為2.067，最接近游戲結束時小明的整數期望積分是2。為了最大化結束時的期望積分，小明應該等待第一架敵機出現，將其擊落后立即結束游戲。通過這樣逐步分析和計算不同策略下的期望收益，我們可以找到最優的決策方案。\subsection{目錄的制作}\subsubsection{第一步}subsubsection*{其他說明}laddcontentsline{toc} {subsubsection} {其他說明}\begin{table}[]\centering  \caption{我的表格標題}  \label{tab:my_table}  \begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline  列1 & 列2 & 列3 \\ \hline  數據1 & 數據2 & 數據3 \\ \hline  數據4 & 數據5 & 數據6 \\ \hline  數據7 & 數據8 & 數據9 \\ \hline  \end{tabular}  \end{table}\end{CJK}
\end{document}