計算機的錯誤計算（十八）

摘要? 計算機的錯誤計算（四）指出一元二次方程的計算精度問題。本節給出其一種解決方案。

? ? ? ?計算機的錯誤計算（四）與（十七）分別指出一元二次方程的求解是具有挑戰性的難題，其出錯原因是因為相減相消而導致損失了精度。

? ? ? ?下面我們仔細分析。

? ? ? ?一元二次方程??? $ax^2+bx+c=0\, (a\neq0)$ ? ?的求根公式為

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

? ? ? ?當?? $b^2>>|4ac|$ ?時， $|-b|$ ?與? $\sqrt{b^2-4ac}$ ?會很接近，這樣， $-b\pm\sqrt{b^2-4ac}$ ??中一個運算就會發生相減相消。

? ? ? ?比如，若? $b>0$ , 則?? $-b+\sqrt{b^2-4ac}$ ?有相減相消發生；相反，若?? $b<0$ , 則? $-b-\sqrt{b^2-4ac}$ ? 會發生相減相消。相減相消的根源在于“相減”，那么如何去掉這個“相減”呢？若您中學數學學得好，不難想到，用公式?? $(x-y)(x+y)=x^2-y^2.$ ? 即分子分母同乘以?? $-b\textcolor{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}$ ?（這時是同號的兩數相加），讓“分子有理化”?：?

$x_{1,2}=\frac{-b\textcolor{blue}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b\textcolor{blue}{\pm}\sqrt{b^2-4ac})(-b\textcolor{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac})}{2a(-b\textcolor{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac})}=\frac{2c}{-b\textcolor{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}}.$

? ? ? ?上式就是一種很好的解決方案。它沒有增加計算量或復雜度。

例1.? （續計算機的錯誤計算（四）的例1）已知? $a=10^{-17}, b=-10^{17}, c=10^{17}$ ，計算其較小的根。

? ? ? ?顯然，由于

? $\left\{\begin{matrix} b^2&>>&|4ac|,\\ b&<&0, \end{matrix}\right.$

因此較小的根?? $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ?會發生相減相消。

? ? ? ?現在，利用新的公式?? ${\frac{2c}{-b+\sqrt{b^2-4ac}}}$ ?編程如下：

$double\,\, a=1e-17;\\ double\,\, b=-1e17;\\ double\,\, c=1e17;\\ printf("\%lf",\textcolor{red}{(2*c)/(-b+sqrt(b*b-4*a*c))});$

在?Visual Studio 2010 中運行它，則輸出為正確結果1。

? ? ? ?最后，問一句：任給一個可能發生相減相消的算式，若找不到對應的替代公式怎么辦？去不掉相減相消該怎么辦？

? ? ? ?答案是：采用高精度計算。那么問題又來了，高到多少？很簡單：損失多少，增加多少。

? ? ? ?若遇到了，不知結果對不對，不妨先在這里試試（這個是萬能的，任何算術表達式都能得出正確結果。后面有機會再介紹）：ISReal 計算器, 可信計算http://www.isrealsoft.cn/

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