Lipschitz function

一、說明

在數學分析中，Lipschitz連續性以德國 數學家 魯道夫·利普希茨 (Rudolf Lipschitz)的名字命名，是函數一致連續性的強形式。直觀地說，Lipschitz連續函數的變化速度有限：存在一個實數，使得對于該函數圖上的每一對點，連接它們的直線斜率的絕對值不大于該實數；這樣的最小邊界稱為該函數的Lipschitz常數（與一致連續模相關）。例如，每個定義在區間上且具有有界的一階導數的函數都是Lipschitz連續的。

二、關于

2.1 定義

Lipschitz function函數f 如下
$$|f（x）?f（y）|<=C|x?y|$$
對于所有x 和y，其中C是與x和y無關的常數，稱為利普希茨函數。

• 任何具有有界的一階導數的函數必定是利普希茨函數。
  顯然，所有的直線函數都是Lipschitz function函數。

• 利普希茨連續性并不是說你可以隨便取任意的x和y，并繪制|f(x) - f(y)| ≤ M|x - y|。它說的是M是固定的，且不等式對所有x, y ∈ R都成立。
  這是一個更強的條件。如果你只需要為每個x和y選擇一個M，那么這個條件將毫無意義。

2.2 一些討論

① 二次拋物線函數不是Lipschitz函數
假如$y=x^2$
因為，對于等差序列$x_1，x_2，x_3\in R$，$0<x_1<x_2<x_3$,那么

$|y_1?y_2|=|x_1^2?x_2^2|<=C1|x_1?x_2|$
$|x_1+x_2|<=C1$
同樣：
$|y_2?y_3|=|x_2^2?x_3^2|<=C1|x_2?x_3|$
$|x_2+x_3|<=C2$
顯然$C_1<C_2$，即隨著x的遞增，C也是遞增的
隨著$x_1<x_2<x_3\to \infty$也有$C_{\infty }\to \infty$
也就是在函數的全定義域內，沒有一個固定的C使的$|f（x）?f（y）|<=C|x?y|$

② 利普希茨連續且處處可微的函數
雙曲函數：

對所有實數定義的是 Lipschitz 連續的，且 Lipschitz 常數K = 1，因為它處處可微，且導數的絕對值在 1 以上有界。請參閱下面“屬性”下列出的第一個屬性。

③ Lipschitz 連續函數并非處處可微
函數
$f(x)=|x|$
是在實數上定義的范數是Lipschitz連續的，Lipschitz常數等于1，由反三角不等式定義。更一般地，向量空間上的范數關于相關度量是Lipschitz連續的，Lipschitz常數等于1。
，注意：在x=0處不可微。

④處處可微但非連續可微的 Lipschitz 連續函數
函數

其導數存在，但在$x=0$不能連續

三、綜合

如果你的函數是可微的，Lipschitz 連續性只是說這個函數的導數是有界的。我認為這是對“抖動”和“拉伸”的限制。
或者拉伸，它說一個函數 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 不能增長得太快。例如，如果Lipschitz常數是1且(f(0)=0)，那么它被夾在兩條直線 (y=x) 和 (y=-x) 之間。這基本上意味著它不能增長得過快，也不能搖擺太多。
如果常數 M 小于 1，那么這個函數被稱為收縮函數，它具有許多良好的性質。