在傳統相機模擬中，地面通常被建模為一個平面（Plane），這在低空場景下是合理的。但在更大視場范圍或遠距觀察時，地球的曲率不可忽視。因此，我們需要將地面模型從平面升級為球體，并基于球面與光線的幾何關系判斷每個像素是否看到地面或天空，并進行地面貼圖映射。
本文將介紹完整的數學推導與 C++ 實現邏輯，適用于任何高度、視角和分辨率的相機建模。
一、模型定義
1.1 地球模型
我們將地球建模為一個完美球體：
地球半徑（單位：米）：
R=6371000地球球心坐標（世界坐標系原點）：
O=(0,0,0)地面貼圖采用等距圓柱投影（Equirectangular projection）
1.2 相機定義
相機位置在球心正上方，高度為H：
相機方向向量（單位向量）：
水平方向X、垂直方向Y、視軸方向Z構成相機坐標系：
相機分辨率為 (W, H)，視場角為fov。
二、光線生成與交點判斷
2.1 像素對應的光線生成
對于每個像素 (i, j)，我們將其映射為歸一化視場坐標：
水平范圍 [-1, 1]，垂直范圍 [-1, 1]
假設視場角為fov，焦距為：
則該像素對應的相機坐標為：
再通過相機基向量轉換為世界方向：
得到從相機發出的世界坐標系下的光線：
2.2 光線與球體求交
地球表面滿足球面方程：
將光線代入球面方程，得到一元二次方程：
展開并整理為：
若
：光線未擊中地球，像素顯示天空若
：光線擊中地球，交點為：
（若 
則交點在背后，也認為看向天空）
三、紋理映射（球坐標轉二維紋理）
3.1 世界坐標 → 球坐標
交點為：
轉換為球坐標（經緯度）：
經度（longitude）：
緯度（latitude）：
3.2 球坐標 → 貼圖坐標 (u, v)
將經緯度映射為貼圖坐標（歸一化到[0, 1]）：
四、C++ 實現核心邏輯
cv::Vec3b tracePixelRay(int px, int py, int W, int H, double fov, const cv::Vec3d& camPos, const cv::Vec3d& X, const cv::Vec3d& Y, const cv::Vec3d& Z, const cv::Mat& texture)
{double aspect = double(W) / H;double fx = (W / 2.0) / tan(fov / 2.0);double fy = fx;double x = (px - W / 2.0) / fx;double y = (H / 2.0 - py) / fy;cv::Vec3d dir_cam = cv::normalize(cv::Vec3d(x, y, -1));cv::Vec3d dir_world = cv::normalize(X * dir_cam[0] + Y * dir_cam[1] + Z * dir_cam[2]);// 光線-球面求交double R = 6371000.0;double a = 1.0;double b = 2.0 * camPos.dot(dir_world);double c = camPos.dot(camPos) - R * R;double delta = b * b - 4 * a * c;if (delta < 0) return cv::Vec3b(0, 0, 0); // 天空double t = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a);if (t <= 0) return cv::Vec3b(0, 0, 0); // 相機后方// 計算交點cv::Vec3d P = camPos + t * dir_world;double theta = atan2(P[1], P[0]);double phi = acos(P[2] / R);double u = (theta + CV_PI) / (2 * CV_PI);double v = phi / CV_PI;int tex_u = u * texture.cols;int tex_v = v * texture.rows;tex_u = std::clamp(tex_u, 0, texture.cols - 1);tex_v = std::clamp(tex_v, 0, texture.rows - 1);return texture.at<cv::Vec3b>(tex_v, tex_u);
}
五、主循環調用
cv::Mat render(int W, int H, double fov_rad, double height, const cv::Vec3d& D_view, const cv::Mat& texture)
{double R = 6371000.0;cv::Vec3d camPos = cv::Vec3d(0, 0, R + height);cv::Vec3d up = cv::Vec3d(0, 1, 0);cv::Vec3d Z = -cv::normalize(D_view);cv::Vec3d X = cv::normalize(up.cross(Z));cv::Vec3d Y = Z.cross(X);cv::Mat img(H, W, CV_8UC3);for (int j = 0; j < H; ++j){for (int i = 0; i < W; ++i){img.at<cv::Vec3b>(j, i) = tracePixelRay(i, j, W, H, fov_rad, camPos, X, Y, Z, texture);}}return img;
}
總結
通過將地面建模為球體并結合光線-球面交點分析，我們能夠精確判斷每一條視線是否擊中地球，實現真實地面與天空的分界。同時，利用等距圓柱投影將地球紋理映射到圖像，完成完整可視化。這種方法可廣泛應用于衛星成像模擬、導引頭視場渲染、地球可視仿真等場景。
