初等變換

介紹了三種初等變換的操作。

初等矩陣

初等矩陣是干嘛的呢？實際上初等矩陣就是我們矩陣的初等操作，每一個對矩陣的初等變換操作都相當于乘上一個初等矩陣。

左乘初等矩陣就相當于對行進行初等操作，右乘則相當于對列進行初等操作。遵循“左行右列”的原則。

初等矩陣的性質與重要公式

初等變換求逆矩陣

我們知道我們上一章學過了一個求逆矩陣的方法是通過伴隨矩陣求，還有就是通過定義假設求。現在我們又學了這一種更加常用的方法，就是通過初等變換求逆矩陣。

先說一下條件吧，只要要求的矩陣是可逆的，那么就可以用我們這種方法求。另外這個的原理就是因為我們所有的可逆矩陣經過初等變換之后就一定能變成E矩陣，也就是我們藍色的第一個公式，如果E矩陣也經過同樣的變換就會變成其逆矩陣（見后兩個公式）。

例題：

行階梯形矩陣

分塊矩陣的逆

這個在我們上一篇的例題里求過一回，這次我們正式講一下。

例題

本題要求B的逆矩陣，先想一想有幾個方法，第一個是定義，第二個是性質，第三個是初等變換。首先不是定義，因為如果用定義算的話這個階數太多太復雜了，其次性質方面，我們可以排除用伴隨矩陣，再一個初等變換，這個的話我們不知道具體的B是什么，所以這題的用的方法可能是通過變來求得B的逆。

然后是“翻譯”，先看目標，顯然目標不需要翻譯了。再看條件，條件說A的矩陣型號，還有就是A可以通過初等變換變成B，我們先把這句翻譯成數字語言就是：Q*A=B，Q是初等矩陣。然后再來，題目告訴了我們A的逆，我們現在只有這一個式子，這樣的話就要想辦法把這個式子變成含有A的逆和B的逆的式子，于是我們對式子進行變換，變換的時候要注意左乘和右乘。

大家寫完上面那題按照同樣的思路來寫下這個題練練手吧~

很明顯的分塊矩陣的形式，怎么解不用我多說了吧~

首先是證明可逆，因為我們這里肯定是一個方陣（長寬都是s+r），所以只要證明|A|不為0就行，然后就是證逆矩陣了。

首先是聯想知識點，初等變換肯定是不行，因為這里是抽象矩陣，性質和定義可以考慮一下。

接來下是翻譯，其實我們只有一個條件，這個條件也不能被換成其他的，算是給好了。

但是這樣結合我們之前的思考，我們可以想到好像只能用定義做了，因為性質的話需要有一些其他的表達式才行。定義的話就是使用我們之前說的“假設法”