一、微積分核心知識框架

1. 極限與連續（重點！）

• 核心概念：
  • 極限定義（ε-δ語言）
  • 重要極限：lim?x→0sin?xx=1limx→0?xsinx?=1，lim?x→∞(1+1x)x=elimx→∞?(1+x1?)x=e
  • 連續性判定：函數在點?x0x0??連續需滿足?lim?x→x0f(x)=f(x0)limx→x0??f(x)=f(x0?)
• 典型題目：

2. 導數與微分（重點！）

• 核心公式與方法：
  • 導數定義：f′(x0)=lim?Δx→0f(x0+Δx)?f(x0)Δxf′(x0?)=limΔx→0?Δxf(x0?+Δx)?f(x0?)?
  • 求導法則：鏈式法則、隱函數求導、參數方程求導
  • 應用：單調性、極值、凹凸性（二階導數判定）
• 典型題目：

3. 積分（重點！）

• 兩大模塊：
  • 不定積分：基本公式（如?∫1xdx=ln?∣x∣+C∫x1?dx=ln∣x∣+C）、換元法、分部積分法
  • 定積分：牛頓-萊布尼茨公式?∫abf(x)dx=F(b)?F(a)∫ab?f(x)dx=F(b)?F(a)?2
• 應用：面積、體積、物理問題（如變力做功）
• 典型題目：

4. 微分方程

• 核心類型：
  • 一階：可分離變量?dydx=g(x)h(y)dxdy?=g(x)h(y)
  • 二階常系數線性：y′′+py′+qy=f(x)y′′+py′+qy=f(x)，特解構造（表格法）
• 典型題目：

5. 多元函數微積分

• 核心概念：
  • 偏導數：?f?x?x?f?
  • 梯度與方向導數
  • 二重積分計算（直角坐標/極坐標）4
• 典型題目：

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二、知識導圖建議（分層結構）

配套記憶卡片（打印裁剪使用）

分類	核心公式/定理	應用場景
極限	lim?x→0sin?xx=1limx→0?xsinx?=1	三角函數極限
導數	(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v+uv′	乘積函數求導
積分	∫1xdx=ln?∥x∥+C∫x1?dx=ln∥x∥+C	含x?1的積分
微分方程	y′′+ω2y=0?y=C1cosωx+C2sinωxy′′+ω2y=0?y=C1?cosωx+C2?sinωx	簡諧振動模型

重點標注說明：

• 標?內容為考研高頻考點?；
• 積分與微分方程是應用題核心（占分≥30%）；