深入理解Vapnik-Chervonenkis(VC)維度：機器學習泛化能力的理論基礎

引言

通過本篇閱讀,從理論上去理解為什么:

? ? ? ? 要選擇復雜度低的模型
? ? ? ? 過擬合的時候,增加樣本量有用
? ? ? ? 以及如何根據樣本量選擇特征個數
? ? ? ??PAC機器學習框架, VC 維是機器學習最重要的基礎理論之一

? ? ? ? ?在機器學習領域，模型泛化能力是衡量算法性能的核心指標。一個關鍵問題是：如何確保在有限訓練數據上訓練的模型能夠有效預測未知數據？這正是Vapnik-Chervonenkis(VC)維度理論要解決的核心問題。

? ?我們核心是了解下面公式

? ? ?

公式原理參考：https://www.youtube.com/watch?v=EmSVek5QMnE）

? ?VC理論的核心貢獻是建立了泛化誤差上界，當固定模型的復雜度，增加樣本量可以降低過擬合風險

如果是線性分類器，其VC維如下：

? ??vc維定義
? ? Shattering
? ? 機器學習VC維
? ? ?使用VC維度理論選擇模型

一? VC維定義（Vapnik-Chervonenkis Dimension）

? ? ? ? VC維度(Vapnik-Chervonenkis Dimension)由統計學習理論先驅Vladimir Vapnik和Alexey Chervonenkis于1971年提出，是量化模型復雜度的數學工具。

? ? ? ? ?定義為能被H（Hypothesis Class：? 假設空間,指模型可以學習的所有可能函數的集合）完全打散（shatter）的最大樣本點數n。完全打散意味著對于這n個點的任意標簽組合，H中均存在一個假設能正確分類。

? ? ?核心概念

打散(Shattering)：如果對于任意標簽分配方式，假設類H都能完美分離樣本點，則稱H打散了該點集
VC維度：假設類H能夠打散的最大點集的大小
關鍵性質：
- 線性分類器的VC維度 = 特征維度 + 1
- 有限VC維度 ? 可學習性
- VC維度越大，模型擬合能力越強，但泛化風險越高

二? Shattering

? ? ?

? ??打散(Shattering)：如果對于任意標簽分配方式，假設類H都能完美分離樣本點，則稱H打散了該點集。

? ? 我們期望的規律： G(x)?? $x\rightarrow y$ ?代表真實的規律

? ? 如果輸入的是x，那么 P(y=G(x))=1 ,我們不知道這個G(x)

? ? 所以我們在各種假設空間里面，找到假設的函數，來對真實規律的猜測

模型 假設空間類型 表達能力 過擬合風險 適用場景
線性回歸線性函數集合低低線性關系數據（如簡單回歸）
邏輯回歸線性分類器集合中中二分類問題（如垃圾郵件檢測）
決策樹離散樹結構集合高高多特征交互數據（如用戶畫像）
SVM（線性核）線性決策邊界集合中中線性可分數據（如文本分類）
SVM（RBF 核）高維線性決策邊界集合高高復雜非線性數據（如圖像分類）
神經網絡無限維非線性函數集合極高極高復雜模式識別（如語音、圖像）

? ?

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模型	假設空間類型	表達能力	過擬合風險	適用場景
線性回歸	線性函數集合	低	低	線性關系數據（如簡單回歸）
邏輯回歸	線性分類器集合	中	中	二分類問題（如垃圾郵件檢測）
決策樹	離散樹結構集合	高	高	多特征交互數據（如用戶畫像）
SVM（線性核）	線性決策邊界集合	中	中	線性可分數據（如文本分類）
SVM（RBF 核）	高維線性決策邊界集合	高	高	復雜非線性數據（如圖像分類）
神經網絡	無限維非線性函數集合	極高	極高	復雜模式識別（如語音、圖像）

? ? ? 1: N=2 兩個點的情況（則共有 $2^N=4$ 種組合）

? ? ??

? ? ? ?我們可以看到這些組合都可以被線性分類器Shattering

? ? ? ? ? A line can shatter 2 points on? $R^2$

? ? ? ? 2? ?N=3?（則共有 $2^N=8$ 種組合）

? 但是這種情況可以被線性分類器shatter,但是同樣N=3 下面這種情況，如果共線就不能被shatter,所以shatter 并不是shatter 所有組合，只要shatter 其中一個組合就可以

? 3? ?N=4?（則共有 $2^N=16$ 種組合）

? ??

? ? ? ?這個時候我們發現我們找不到一個線性分類器（特征個數為2）能夠shatter 上面的集合，

所以其VC 維=d(特征個數+1=3

? ?所以上面能夠shatter 最大的點的個數是N=3?

? ?N= d+1(其中d 是特征個數，為2維度）

三? ?機器學習VC維

? ? ? ?在機器學習領域，模型的復雜度與性能之間存在著微妙的平衡，即欠擬合與過擬合的權衡。欠擬合指的是模型過于簡單，無法捕捉數據中的復雜模式，導致在訓練和測試數據上表現均不佳。而過擬合則是模型過于復雜，過度擬合了訓練數據中的噪聲，雖然在訓練數據上表現優異，但在測試數據上表現糟糕。

? ? ? ?模型的表示能力，即其學習或表示數據復雜模式的能力，是影響模型性能的關鍵因素。表示能力越強的模型，越能夠捕捉數據中的復雜關系，但同時也可能更容易過擬合。因此，在選擇模型時，需要根據具體問題的復雜度來權衡模型的表示能力。

? ? ?為了量化模型的表示能力，機器學習領域引入了VC維（Vapnik-Chervonenkis維度）這一概念。VC維提供了模型能夠分類的最大點集數量的一個指標，VC維越高，模型的表示能力通常也越強。然而，高VC維也意味著模型更容易過擬合，因此在實際應用中，需要結合具體問題和數據特征來選擇合適的模型復雜度。

總之，在機器學習中，理解欠擬合與過擬合的權衡、模型的表示能力以及VC維等概念，對于選擇和優化模型具有重要的指導意義。

3.1??機器學習中的風險與經驗風險

? ? ? 在機器學習中，我們通常假設訓練數據是從某個分布?p(x)?中獨立同分布采樣得到的。為了評估模型的性能，我們引入了兩個重要概念：風險和經驗風險。

風險（R(θ)）代表了模型的“長期”測試誤差，即模型在未見過的數據上的預期表現。其數學表達式為：

其中，δ?是指示函數，當條件滿足時取值為1，否則為0；

? c?是真實標簽，c^(x;θ)?是模型預測的標簽。

經驗風險（Remp(θ)）則是我們在訓練數據上觀察到的誤差，也稱為訓練誤差。其數學表達式為：

其中，m?是訓練樣本的數量，c(i)?和?x(i)?分別是第?i?個樣本的真實標簽和特征。

風險與經驗風險之間的關系反映了模型的過擬合程度：

在欠擬合領域，風險與經驗風險非常相似，意味著模型在訓練和測試數據上的表現相近，但都可能不夠理想。
在過擬合領域，經驗風險可能很低（模型在訓練數據上表現很好），但風險卻可能很高（模型在測試數據上表現糟糕）。

3.2? 跟VC dimension 的關系

3.3??? shattering

? ? ? 假設我們特征的個數是2 ，我們可以看到其可以正確分類所有2個點的集合

常見機器學習模型的VC維度:
--------------------------------------------------
? 線性分類器 (d維空間)        → d+1
? 決策樹 (k個葉子節點)        → k
? 神經網絡 (含L層，W個參數)   → O(WL)
? 支持向量機 (RBF核)         → ∞ (理論上)
? k近鄰算法 (k=1)            → ∞
? 簡單閾值函數                → 1

四? ?使用VC維度理論選擇模型

? ? 在機器學習中，避免過擬合和選擇合適復雜度的模型至關重要。除了常用的交叉驗證（Cross-Validation）外，VC 維度（Vapnik-Chervonenkis Dimension）?提供了一種基于理論的方法來指導模型選擇。

? ? ?核心思想：結構風險最小化 (SRM)

衡量模型復雜度：?VC 維度 (h) 量化了一個模型類（例如，所有可能的線性分類器、所有特定深度的決策樹）的“擬合能力”或復雜度。VC 維度越高的模型類，擬合復雜模式的能力越強，但也更容易過擬合。
泛化誤差邊界：?統計學習理論提供了基于 VC 維度的泛化誤差邊界。這個邊界通常具有以下形式：
測試誤差 ≤ 訓練誤差 + 懲罰項(VC維度 h, 樣本量 N, 置信度 δ)
這個懲罰項隨著模型 VC 維度 (h) 的增加而增大，隨著訓練樣本量 (N) 的增加而減小。
模型選擇流程 (SRM)：
1. 定義一組具有不同 VC 維度的候選模型結構（例如，不同次數的多項式、不同層數的神經網絡、不同最大深度的樹）。
2. 對于每個候選結構：
  - 在訓練數據上找到該結構下表現最好的模型（最小化訓練誤差）。
  - 計算該模型的訓練誤差。
  - 計算基于該結構 VC 維度 (h) 和樣本量 (N) 的懲罰項。
  - 計算泛化誤差上界?= 訓練誤差 + 懲罰項。
3. ?選擇那個給出最小泛化誤差上界的模型結構。

?[VC Dimension]https://www.youtube.com/watch?v=puDzy2XmR5c&t=833s

[Model Complexity and VC Dimension]https://www.youtube.com/watch?v=8yWG7fhCpTw

[Understanding VC Dimension(Vapnik Chervonenkis Dimension) - Simplified Explanation for?]

[]https://www.youtube.com/watch?v=7O7RL5jHHNM

Machine Learning 15: VC-Dimension
[]https://www.youtube.com/watch?v=7O7RL5jHHNM

https://www.youtube.com/watch?v=XxPB9GlJEUk

https://www.youtube.com/watch?v=EmSVek5QMnE

Vapnik, V. N., & Chervonenkis, A. Y. (1971). On the Uniform Convergence of Relative Frequencies of Events to Their Probabilities.
Shalev-Shwartz, S., & Ben-David, S. (2014). Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms.
Mohri, M., Rostamizadeh, A., & Talwalkar, A. (2018). Foundations of Machine Learning (2nd ed.).