著重強調微分方程底層的幾何和代數結構，以進行更深入的分析和求解方法。開發結構保持的數值方法，以在計算中保持定性特征。統一符號和數值方法，實現有效的數學建模。利用幾何解釋（如雙曲幾何）求解經典微分方程。利用計算機代數進行符號分析并與數值方法集成。

計算中的幾何微分方程側重于幾何、代數和數值方法之間的相互作用，以理解、求解和在計算設置中保留微分方程的結構。主要主題和貢獻包括：

??AI云計算數值分析和代碼驗證

1. 偏微分方程的幾何和代數方法

• 微分方程的幾何理論使用射流空間、嘉當分布和李變換從幾何和代數角度分析偏微分方程（PDE）系統。這種方法提供了一個框架，通過使用斯賓塞上同調和微分算子代數等概念來理解偏微分方程的結構、兼容性和可積性。
• 這份宣言強調，微分方程不僅僅是解析對象，它們還具有豐富的幾何結構，可以利用這些結構來更好地進行理論理解和計算方法。

2. 結構保持數值方法

• 計算微分方程的一個主要發展是關注結構保持離散化，也稱為幾何數值積分。這些方法旨在保留原始連續微分方程的關鍵幾何和拓撲性質，例如辛結構、不變量或守恒定律，從而在長時間內實現定性和定量上更準確的模擬。
• 這種方法與可能不尊重底層幾何的經典數值方法形成對比，后者可能導致數值偽影或重要定性特征的丟失。

3. 統一計算框架

• 計算微分方程越來越多地通過統一框架呈現，該框架結合了符號和數值方面，反映了微分方程作為無限維（連續）和有限維（離散）對象的雙重性質。例如，伽遼金方法提供了一種系統的方法來離散化和數值求解微分方程，同時保持數學嚴謹性。
• 這份宣言倡導將數學建模和計算無縫融合，以有效地處理科學和工程中的復雜微分方程。

4. 經典方程的幾何解釋

• 某些經典微分方程，例如u′′(x)+h(x)u(x)=0形式的二階線性常微分方程，可以在幾何上解釋為雙曲幾何中的測地線方程。這種幾何觀點通過將微分方程與彎曲空間的幾何聯系起來，提供了新的見解和求解方法。
• 將這些思想擴展到復幾何和洛倫茲幾何進一步豐富了對微分方程的理解和潛在的計算技術。

5. 計算機代數與符號計算

• 計算機代數系統結合了幾何和代數方法，以符號方式求解和分析微分方程。這包括對稱分析、局部分析、微分理想和伽羅瓦理論，它們提供了理解微分方程解空間、可積性和變換的強大工具。
• 這里的宣言是，符號計算通過提供精確的結構性見解來補充數值方法，從而指導和改進計算方法。

幾何微分方程在云計算中的應用促進了復雜數據的高級可視化和動畫，特別是在分布式環境中將曲面形變為最小曲面和管理高斯曲率。

🎬動畫結果

• 曲面變形為最小曲面