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以下整理了概率論中的常用符號和公式表格，覆蓋基礎知識、關鍵定理和常用分布：

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一、基礎集合與事件符號

符號	名稱	含義/公式	說明
$S$	樣本空間	所有可能結果的集合	全集
$\omega$	樣本點	$S$ 中的元素	基本事件
$A,B$	事件	$S$ 的子集	可能發生的結果集合
$A^c$	補事件	$S?A$	$A$ 不發生
$A\cap B$	事件交	$A$ 與 $B$ 同時發生	$P(A\cap B)$ 即聯合概率
$A\cup B$	事件并	$A$ 或 $B$ 發生	加法公式核心
$A?B$	事件差	$A$ 發生但 $B$ 不發生	$A\cap B^c$
$?$	空事件	不可能事件	$P(?)=0$
$A?B$	事件包含	$A$ 發生則 $B$ 必然發生	蘊含關系
$A\perp B$	事件獨立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	統計獨立性定義

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二、概率函數與公理

公理

公理	名稱	數學表述	說明
公理 1	非負性	對于任意事件 $A$ (即 $A?S$)， $P(A)\ge 0$	任何事件發生的概率都不能小于零。
公理 2	規范性	$P(S)=1$	整個樣本空間 $S$ (包含所有可能結果) 發生的概率等于 1。意味著某種結果必然發生。
公理 3	可列可加性	對于任意可數個 (有限個或可數無窮個) 兩兩互斥的事件 $A_1,A_2,A_3,...$ (即 $i\ne j$ 時 $A_i\cap A_j=?$)， $P\left({?}_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$	互斥事件并的概率等于各事件概率之和。如果一個事件可以分解成一些互不重疊的子事件，那么該事件的概率就是這些子事件概率的總和。

符號	名稱	公式/定義	說明
$P(A\mid B)$	條件概率	$\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$	$B$ 發生下 $A$ 的概率
公式	乘法公式	$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$	聯合概率計算
公式	全概率公式	$P(A)={\sum }_{i}P(A\mid B_i)P(B_i)$	{ B i } \{B_i\} {Bi?} 為分割
公式	貝葉斯定理	$P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)P(B_j)}{{\sum }_{i}P(A\mid B_i)P(B_i)}$	后驗概率計算

對偶公式

符號/名稱	公式	說明
德摩根律 (事件逆運算法則)	$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$	并集的補集 = 補集的交集 （推廣：${\left({?}_i{A}_i\right)}^c={?}_i{A}_i^c$）
	$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$	交集的補集 = 補集的并集 （推廣：${\left({?}_i{A}_i\right)}^c={?}_i{A}_i^c$）
加法公式的對偶形式	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)?P(A\cap B)$	事件并的概率 = 概率和減交集概率 （消除重復計算）
	$P(A\cap B^c)=P(A)?P(A\cap B)$	$A$ 發生但 $B$ 不發生的概率
互斥事件的對偶性質	若 $A\cap B=?$，則 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$	互斥時：并集概率 = 概率之和
	若 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，則 $A\cap B=?$	逆關系：概率可加性蘊含事件互斥
Borel-Cantelli 引理的對偶	${\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)<\infty ?P\left(\mathrm{limsup}{A}_n\right)=0$	事件列若概率和收斂，則“無限發生”概率為 0
	${\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)=\infty \text{?且獨立}?P\left(\mathrm{limsup}{A}_n\right)=1$	事件列若獨立且概率和發散，則“無限發生”概率為 1（對偶結論）
獨立性的對偶條件	$P(A\cap B)=P(A)P(B)?A,B\text{?獨立}$	獨立性的基礎定義形式
	$P(A\mid B)=P(A)\text{（當?}P(B)>0\text{）}$	對偶表達：條件概率 = 無條件概率 （獨立性在條件概率中的體現）
	$P(A\mid B)=P(A\mid B^c)$	獨立性等價于：$B$ 發生與否不影響 $A$ 的條件概率

對偶性在概率論中的意義：
對偶公式揭示了概率運算中互補結構的對稱性（如并/交、發生/不發生、獨立/相關），是化簡復雜概率問題和證明極限定理的核心工具。尤其當問題涉及補事件或互逆結論時（如“至少發生一次” vs. “永不發生”），對偶關系常提供簡潔的轉換路徑。

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三、隨機變量與分布

符號	名稱	公式/定義	說明
$X,Y$	隨機變量	函數 $X:S\to \mathbb{R}$	將結果映射為實數
$F_X(x)$	累積分布函數 (CDF)	$F_X(x)=P(X\le x)$	單調不減、右連續
離散型
$p_X(x)$	概率質量函數 (PMF)	$p_X(x)=P(X=x)$	離散隨機變量概率
連續型
$f_X(x)$	概率密度函數 (PDF)	$P(a\le X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$	$f_X(x)\ge 0$, (\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) , dx = 1$
公式	CDF與PDF關系	$F_X(x)={\int }_{?\infty }^x{f}_X(t)dt$	$f_X(x)=\frac{d}{dx}{F}_X(x)$

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四、重要數字特征

符號	名稱	公式	說明
$E[X]$	期望	離散： $\sum x_{i}p(x_i)$ 連續： $\int xf(x)dx$	隨機變量平均值
$\text{Var}(X)$	方差	$E\left[(X?E[X]{)}^2\right]=E[X^2]?(E[X]{)}^2$	度量離散程度
${\sigma }_X$	標準差	$\sqrt{\text{Var}(X)}$	方差的平方根
$\text{Cov}(X,Y)$	協方差	$E[(X?E[X])(Y?E[Y])]=E[XY]?E[X]E[Y]$	衡量兩變量線性相關性
${\rho }_{X,Y}$	相關系數	$\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$	$
$\text{Skew}(X)$	偏度	$E\left[{\left(\frac{X?\mu }{\sigma }\right)}^3\right]$	分布不對稱性度量
$\text{Kurt}(X)$	峰度	$E\left[{\left(\frac{X?\mu }{\sigma }\right)}^4\right]?3$	分布尖銳或平坦程度（減3后正態為0）

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五、極限定理

以下是大數定律主要形式的結構化對比表格，包含核心公式、條件及收斂目標：

大數定律類型	條件	公式表達（收斂形式）	收斂目標	應用場景
伯努利大數定律	獨立重復試驗（$n$ 次），固定事件概率 $p$	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{{\mu }_n}{n}?p\right|<\epsilon \right)=1$	頻率 $\frac{{\mu }_n}{n}$ → 概率 $p$	頻率穩定性（拋硬幣等）
切比雪夫大數定律	隨機變量序列 { X n } \{X_n\} {Xn?} 兩兩不相關，方差一致有界（$D(X_i)\le C$）	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i?\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)\right|<\epsilon \right)=1$	樣本均值 → 期望均值 $\frac{1}{n}\sum E(X_i)$	異分布隨機變量序列分析
辛欽大數定律	{ X n } \{X_n\} {Xn?} 獨立同分布（i.i.d.），期望存在（$E(X_i)=\mu$，方差可無）	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i?\mu \right|<\epsilon \right)=1$	樣本均值 ${\bar{X}}_n$ → 總體均值 $\mu$	參數估計（抽樣調查）
泊松大數定律	獨立試驗（$n$ 次），第 $k$ 次事件概率為 $p_k$（概率可變）	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{{\mu }_n}{n}?\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{p}_k\right|<\epsilon \right)=1$	頻率 $\frac{{\mu }_n}{n}$ → 平均概率 $\bar{p}$	變概率事件長期規律（如故障率）
馬爾可夫大數定律	滿足馬爾可夫條件：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}D\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)=0$	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i?\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)\right|<\epsilon \right)=1$	樣本均值 → 期望均值 $\frac{1}{n}\sum E(X_i)$	廣義隨機序列（無相關性要求）

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補充說明：

1. 統一數學表達：
   所有大數定律均可概括為：
   $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu (n\to \infty )$$
   其中 $\mu$ 是總體期望或期望的平均，$\stackrel{P}{\to }$ 表示依概率收斂。

2. 符號：

   • ${\mu }_n$：事件發生次數（伯努利/泊松）
   • ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum X_i$：樣本均值
   • $\epsilon$：任意小的正數（收斂精度）
   • $D(?)$：方差

💡 核心思想：大量獨立重復試驗下，隨機現象的偶然性偏差被稀釋，樣本統計量穩定趨近于理論期望值。
?? 注意：大數定律不消除單次試驗的隨機性，也不解釋微小偏差的長期累積效應（如賭徒謬誤）。

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六、常見離散概率分布

分布	PMF	期望	方差	應用場景
伯努利 $\text{Bern}(p)$	$p(1)=p,p(0)=1?p$	$p$	$p(1?p)$	單次二元試驗（如拋硬幣）
二項 $\text{Bin}(n,p)$	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1?p{)}^{n?k}$	$np$	$np(1?p)$	$n$ 次獨立伯努利試驗成功次數
幾何 $\text{Geom}(p)$	$(1?p{)}^{k?1}p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1?p}{p^2}$	首次成功所需試驗次數
泊松 $\text{Pois}(\lambda )$	$\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$	單位時間/空間內稀有事件發生次數

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七、常見連續概率分布

分布	PDF	期望	方差	應用場景
均勻 $\text{Unif}(a,b)$	$\frac{1}{b?a},x\in [a,b]$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b?a{)}^2}{12}$	區間內等可能取值
正態 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$	自然界廣泛存在的分布
指數 $\text{Exp}(\lambda )$	$\lambda e^{?\lambda x},x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$	無記憶性的等待時間分布
伽馬 $\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\frac{{\beta }^{\alpha }{x}^{\alpha ?1}{e}^{?\beta x}}{\Gamma (\alpha )}$	$\frac{\alpha }{\beta }$	$\frac{\alpha }{{\beta }^2}$	多階段等待時間、可靠性分析

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說明：

1. 符號體系差異：不同教材/文獻可能存在符號差異（如方差 $D(X)$ 或 ${\sigma }_X^2$）。
2. 上下文依賴：符號含義需結合上下文理解（例如 $\sigma$ 可表示標準差或參數）。
3. 分支領域擴展：信息論（熵 $H(X)$)、隨機過程（馬爾可夫鏈 $P_{ij}$) 等有其專用符號。
4. 測度論基礎：嚴格定義中概率空間記為 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$，其中 $\mathcal{F}$ 是 $\sigma$-代數。