【參考資料】

1. 同濟大學《高等數學》教材
2. 樊順厚老師B站《高等數學精講》系列課程 （注：本筆記為個人數學復習資料，旨在通過系統化整理替代厚重教材，便于隨時查閱與鞏固知識要點）

僅用于個人數學復習，因為課本太厚了而且不方便帶著，所以才整理這樣一份筆記。

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一、數列的極限

1.1 無窮的本質：你先說

我們先來看幾個具體的數列例子：

• 數列：$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots ,\frac{n}{n+1},\dots$ 通項公式為：$x_n=\frac{n}{n+1}$

• 數列：$2,4,8,\dots ,2^n,\dots$ 通項公式為：$x_n=2^n$

• 數列：$1,?1,1,\dots ,(?1{)}^{n+1},\dots$ 通項公式為：$x_n=(?1{)}^{n+1}$

對于任意給定的正數 $M>0$（你先給個$M$），總存在某個時刻 $N$，使得當 $n>N$ 時，對應的數列項 $x_n$ 滿足： $x_n>M$

$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 當 $n\to \infty$ 時，$\frac{n}{n+1}$ 無限接近于 $1$。

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1.2 極限的嚴格定義

為了更精確地描述“無限接近”的概念，我們需要引入極限的嚴格定義。對于任意給定的正數 $\epsilon >0$（無論這個 $\epsilon$ 多么小），總存在一個正整數 $N$，使得當 $n>N$ 時，以下不等式成立：

$$\left|\frac{n}{n+1}?1\right|<\epsilon$$

換句話說，對于任意小的正數 $\epsilon$，我們總能找到一個時刻 $N$，使得當 $n>N$ 時，數列項 $\frac{n}{n+1}$ 與 $1$ 的差的絕對值小于 $\epsilon$。

Def: 設 { x n } \{x_n\} {xn?} 是一個數列。如果存在一個常數 $a$，使得對任給的 $\epsilon >0$，存在一個 $N$，當 $n>N$ 時，不等式

$$|x_n?a|<\epsilon$$

都成立，則稱 $a$ 為數列 { x n } \{x_n\} {xn?} 的極限，記作：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

如果 {$x_n$} 極限存在，也稱為 {$x_n$} 收斂，否則是發散。等價關系如下：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a??\begin{array}{l}?\epsilon >0,\\ ?N>0,\\ \text{使得當?}n>N\text{?時},\\ |x_n?a|<\epsilon \end{array}$$

幾何意義：

對于任意給定的正數 $\epsilon >0$，如果存在一個正整數 $N$，使得當 $n>N$ 時，以下不等式成立：

$$|x_n?a|<\epsilon$$

這可以進一步展開為：

$$?\epsilon <x_n?a<\epsilon$$

從而得到：

$$a?\epsilon <x_n<a+\epsilon$$

這意味著當 $n>N$ 時，數列項 $x_n$ 都位于區間 $(a?\epsilon ,a+\epsilon )$ 內，即：

$$x_n\in U(a,\epsilon )$$

其中 $U(a,\epsilon )$ 表示以 $a$ 為中心、半徑為 $\epsilon$ 的鄰域。

即：$N$ 項之后，每一項都落在鄰域 $U(a,\epsilon )$ 內，只有有限項落在 $U(a,\epsilon )$ 外。

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1.3 一個簡單題

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$$

證明：

對任意給定的 $\epsilon >0$，存在一個正整數 $N$，使得當 $n>N$ 時，有：

$$\left|\frac{n}{n+1}?1\right|<\epsilon$$

因為 $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$， 所以只要 $\frac{1}{n}<\epsilon$，即$n>\frac{1}{\epsilon }$

那么，取 $N=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1$，當 $n>N$ 時，有：

$$\left|\frac{n}{n+1}?1\right|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\epsilon$$

$$\therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$$

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二、收斂數列的性質

2.1 極限唯一性

Th1（極限的唯一性）：數列的極限存在，必唯一。

證：(用反證法)

假設 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=b$，且 $a<b$。

由數列極限的定義，對 $\epsilon =\frac{b?a}{3}$，則 $?N_1>0$，當 $n>N_1$ 時，

$$|x_n?a|<\frac{b?a}{3}\text{(1)}$$

又 $?N_2>0$，當 $n>N_2$ 時，

$$|x_n?b|<\frac{b?a}{3}\text{(2)}$$

取 $N=\max (N_1,N_2)$，當 $n>N$ 時，同時滿足不等式(1)和(2)。

$$\begin{gathered} b?a=\left|(x_n?a)?(x_n?b)\right| \\ \le |x_n?a|+|x_n?b| \\ <\frac{b?a}{3}+\frac{b?a}{3}=\frac{2}{3}(b?a) \\ 矛盾！ \end{gathered}$$

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2.2 收斂數列有界性

若存在正數 $M>0$ ，使得$|x_n|\le M$對一切 $n$ 成立，則稱數列 { x n } \{x_n\} {xn?}為有界數列。

Th2：收斂數列必有界。（但是有界不一定收斂，如sinx）

證： 設 { x n } \{x_n\} {xn?}為收斂數列

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

由極限的定義.：對于$\epsilon =1$，存在$N>0$, $?n>N$時，$|x_n?a|<1$

$$\begin{gathered} |x_n|=|(x_n?a)+a| \\ \le |x_n?a|+|a|<1+|a| \end{gathered}$$

取 M = max ? { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , … , ∣ x N ∣ , 1 + ∣ a ∣ } M = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |a|\} M=max{∣x1?∣,∣x2?∣,…,∣xN?∣,1+∣a∣}，則對一切$n$，有：

∣ x n ∣ ≤ M ∴ { x n } 為有界數列 |x_n| \leq M \\[1em] \therefore \{x_n\} 為有界數列 ∣xn?∣≤M∴{xn?}為有界數列

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2.3 收斂數列的保號性

如果${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$存在且$a>0$，則存在正整數$N>0$，當$n>N$時，都有$x_n>0$。如果 $a<0$，同理。

證： 由于${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，若$a>0$

由定義 對$\epsilon =\frac{a}{2}$，存在$N>0$，當$n>N$時

$$|x_n?a|<\frac{a}{2}$$

$$?\frac{a}{2}<x_n?a<\frac{a}{2}$$

此時：$(n>N)$

$$\begin{gathered} x_n>a?\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0 \\ 證畢！ \end{gathered}$$

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2.4 收斂數列和子數列

Th4：如果數列 { x n } \{x_n\} {xn?}收斂于$a$，則它的任一子數列也收斂且收斂于$a$。

證： 由于${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，∴ 對任意給定的 $\epsilon >0$，存在$N$，當$n>N$時。

$$|x_n?a|<\epsilon$$

取$K=N$，當$k>K$時：

$$\begin{gathered} n_k>n_K\ge N \\ |x_{n_k}?a|<\epsilon \\ \therefore \underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=a \end{gathered}$$

一個簡單題：

要證明數列 ${\lim }_{n\to \infty }(?1{)}^{n+1}$ 不存在，我們可以利用子數列的性質。根據子數列定理，如果一個數列收斂于某個極限 $a$，那么它的任意子數列也收斂于同一個極限 $a$。

我們考慮數列 { x n } = ( ? 1 ) n + 1 \{x_n\} = (-1)^{n+1} {xn?}=(?1)n+1 的兩個子數列：

1. 子數列 { x 2 k ? 1 } \{x_{2k-1}\} {x2k?1?}，即所有奇數項組成的子數列：
   $$x_{2k?1}=(?1{)}^{(2k?1)+1}=(?1{)}^{2k}=1$$
   因此，這個子數列是常數序列 1，顯然有：
   $$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k?1}=1$$

2. 子數列 { x 2 k } \{x_{2k}\} {x2k?}，即所有偶數項組成的子數列：
   $$x_{2k}=(?1{)}^{2k+1}=?1$$
   因此，這個子數列是常數序列 -1，顯然有：
   $$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k}=?1$$

由于這兩個子數列分別收斂于不同的極限值 1 和 -1，根據子數列定理，原數列 { x n } = ( ? 1 ) n + 1 \{x_n\} = (-1)^{n+1} {xn?}=(?1)n+1 不能收斂于任何一個確定的極限值。因此，可以得出結論：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(?1{)}^{n+1}\text{?不存在}$$

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2.4 兩個推論（省略證明）

1. 推論1：如果數列 {$x_n$} 從某一項起， $x_n\ge 0$ （$x_n\le 0$），${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，則 $a\ge 0$ （$a\le 0$）

2. 推論2：設${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=b$，若$a<b$，則存在正整數$N>0$，使$n>N$時$b_n>a_n$

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三、函數極限

對任意給定的 $\epsilon >0$，存在 $X>0$，當 $x>X$ 時，都有 $|f(x)?A|<\epsilon$，則稱 $A$ 是 $f(x)$ 當 $x\to \infty$ 的極限。

幾何意義： $y=A$ 是 $y=f(x)$ 圖形的水平漸近線。

求下式子：

$$f(x)=\frac{x^2?1}{x?1}$$

當 $x\ne 1$:

$$f(x)=\frac{x^2?1}{x?1}=\frac{(x?1)(x+1)}{x?1}$$

$$f(x)=x+1$$

所以，當 $x\ne 1$ 時,

$$f(x)=x+1$$

當 $x=1$ 時：

對任意給定的 $\epsilon >0$，要找到一個 $\delta >0$，使得當 $0<|x?1|<\delta$ 時，

$$\left|\frac{x^2?1}{x?1}?2\right|<\epsilon$$

由于 $f(x)=x+1$ 當 $x\ne 1$，因此：

$$|x+1?2|=|x?1|$$

所以，只要取 $\delta =\epsilon$，當 $0<|x?1|<\delta$ 時，就有：

$$|x?1|<\epsilon$$

這表明對任意 $\epsilon >0$，確實存在 $\delta =\epsilon >0$，使得當 $0<|x?1|<\delta$ 時，有：

$$\left|\frac{x^2?1}{x?1}?2\right|<\epsilon$$

因此，${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2?1}{x?1}=2$。

注： 定義中 $0<|x?x_0|$表示$x\ne x_0$，討論$x\to x_0$時只考慮$x\ne x_0$，且${\lim }_{x\to x_0}f(x)$是否存在與$f(x_0)$是否有定義無關。

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A??\begin{array}{l}?\epsilon >0\\ ?\delta >0\\ \text{當?}0<|x?x_0|<\delta \text{?時}\\ |f(x)?A|<\epsilon \end{array}$$