2025 - 02 - 19 - 第 55 篇
Author: 鄭龍浩 / 仟濹(CSND)
【二分搜索】

洛谷 P1873 EKO / 砍樹

題目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 $M$ 米長的木材。對 Mirko 來說這是很簡單的工作，因為他有一個漂亮的新伐木機，可以如野火一般砍伐森林。不過，Mirko 只被允許砍伐一排樹。

Mirko 的伐木機工作流程如下：Mirko 設置一個高度參數 $H$（米），伐木機升起一個巨大的鋸片到高度 $H$，并鋸掉所有樹比 $H$ 高的部分（當然，樹木不高于 $H$ 米的部分保持不變）。Mirko 就得到樹木被鋸下的部分。例如，如果一排樹的高度分別為 $20,15,10$ 和 $17$，Mirko 把鋸片升到 $15$ 米的高度，切割后樹木剩下的高度將是 $15,15,10$ 和 $15$，而 Mirko 將從第 $1$ 棵樹得到 $5$ 米，從第 $4$ 棵樹得到 $2$ 米，共得到 $7$ 米木材。

Mirko 非常關注生態保護，所以他不會砍掉過多的木材。這也是他盡可能高地設定伐木機鋸片的原因。請幫助 Mirko 找到伐木機鋸片的最大的整數高度 $H$，使得他能得到的木材至少為 $M$ 米。換句話說，如果再升高 $1$ 米，他將得不到 $M$ 米木材。

輸入格式

第 $1$ 行 $2$ 個整數 $N$ 和 $M$，$N$ 表示樹木的數量，$M$ 表示需要的木材總長度。

第 $2$ 行 $N$ 個整數表示每棵樹的高度。

輸出格式

$1$ 個整數，表示鋸片的最高高度。

輸入輸出樣例 #1

輸入 #1

4 7
20 15 10 17

輸出 #1

15

輸入輸出樣例 #2

輸入 #2

5 20
4 42 40 26 46

輸出 #2

36

說明/提示

對于 $100\%$ 的測試數據，$1\le N\le 10^6$，$1\le M\le 2\times 10^9$，樹的高度 $\le 4\times 10^5$，所有樹的高度總和 $>M$。

題目中的部分變量

tree_num - 樹木數量
trees[] - 每個樹木的高度
tree_sum - 需要的木材總長度
max_JHight - 鋸片的最高高度
max_TreeHight - 樹木最高高度
tree_NewSum - 存儲當前鋸片高度砍的樹木高度之和

思路

理一下思路，首先，剛開始是沒想到這個題怎么做的，我看到標簽寫的**“二分算法”**，然后往這方面想才有了思路。

首先，該題要求的是：max_hight鋸片的最高高度，這個鋸片的高度肯定是有一個區間的，所以只需要在這個區間(1 ~ 最高的樹木高度)內查找到一個符合條件的值即可。

即使用二分搜索法在區間 [ 1 —— max_TreeHight ] 內尋找符合**條件(下面寫了什么條件)**的值(或叫高度)

這個所謂條件就是:

鋸下來的所有木材之和 大于等于 需要的木材總長度

注意數據范圍

1≤N≤106，1≤M≤2×109，樹的高度 ≤4×105，所有樹的高度總和 >M。

所以 long long

還有一些細節問題

關于一些特殊情況以及細節，我已經在寫代碼的時候進行了標注和注釋

既然理清思路，就開始寫代碼了，代碼如下

代碼

//洛谷P1873 KEO/砍樹
// 2025-02-18
// 鄭龍浩 / 仟濹(CSDN)
// tree_num - 樹木數量
// trees[] - 每個樹木的高度
// tree_sum - 需要的木材總長度
// max_JHight - 鋸片的最高高度
// max_TreeHight - 樹木最高高度
// tree_NewSum - 存儲當前鋸片高度砍的樹木高度之和
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 二分搜索符合 鋸下來的所有木材之和 **大于等于** 需要的木材總長度 的高度
long long binary_searchSelf( long long trees[], long long tree_num, long long tree_sum, long long max_TreeHight ){long long left = 0, right = max_TreeHight, middle; // 左定位 右定位 中間定位long long tree_NewSum; // 存儲當前鋸片高度砍的樹木高度之和long long max_JHight = 0;// 尋找最合適高度(鋸片的)// 因為這個地方寫為 left < right 我找錯找了好久，要注意// 千萬不要寫成 left < right// 為什么left == right 的時候仍然要進入循環呢，因為此時的left 與 right還未曾參與計算// 需要進入循環將 middle 賦值為 (left + right) / 2while( left <= right ){tree_NewSum = 0;middle = (left + right) / 2;for( int i = 0; i < tree_num; i ++ ){// 如果電鋸高度保持在 樹木的高度內，鋸下來就是>0,累加；電鋸高度大于樹木高度，則是砍空氣，不計數(算出來是負數)// 即：如果可砍，則就累加if( middle < trees[ i ] )tree_NewSum += trees[ i ] - middle;}// 不斷尋找 當前鋸片高度砍的樹木高度之和 == 需要的木材總長度 的數值// 招不到就找 當前鋸片高度砍的樹木高度之和 > 需要的木材總長度 且 最接近的 數值if( tree_NewSum >= tree_sum ){// 當前鋸下來的總和 >= 需要的木材總和max_JHight = middle;left = middle + 1;} else{// 當前鋸下來的總和 < 需要的木材總和// 至于為什么在這不 max_JHight = middle 操作，是因為鋸下來的總和不滿足需要的木材right = middle - 1;}}return max_JHight; // 返回鋸片最高高度
}
int main( void ){long long tree_num, tree_sum; //  樹木數量 需要的木材總長度cin >> tree_num >> tree_sum; //  輸入 木數量 需要的木材總長度long long trees[ tree_num ]; //  每個樹木的高度long long max_TreeHight; //  樹木最高高度for( int i = 0; i < tree_num; i ++ ){cin >> trees[ i ];}sort( trees, trees + tree_num ); // 讓數據變為升序，以便使用 二分搜索法max_TreeHight = trees[tree_num - 1];cout << binary_searchSelf(trees, tree_num, tree_sum, max_TreeHight) << endl;return 0;
}