變換矩陣
????????機器人通常包含多個關節和連桿，每個關節和連桿都有自己的局部坐標系。變換矩陣能夠將一個點或向量從一個坐標系轉換到另一個坐標系，從而實現對機器人各個部件位置和姿態的統一描述
????????變換矩陣能夠將復雜的運動分解為旋轉和平移的組合。通過矩陣乘法，可以將多個連續的運動操作合并為一個單一的變換矩陣，從而簡化運動學分析。例如，在機器人正運動學中，通過連乘各個關節的變換矩陣，可以得到末端執行器的總變換矩陣。
????????在機器人學中，各連桿的變換矩陣用于描述相鄰連桿坐標系之間的位置和姿態關系。通常使用Denavit-Hartenberg（D-H）參數法來求解變換矩陣。以下是一個簡單的例子：
1. D-H 參數
D-H 參數包括四個參數：
-
a：連桿長度（沿 x 軸的距離）
-
α：連桿扭角（繞 x 軸的旋轉角）
-
d：連桿偏距（沿 z 軸的距離）
-
θ：關節角度（繞 z 軸的旋轉角）
2. 變換矩陣公式
相鄰連桿的變換矩陣?Ai??可以表示為：
3. 示例
假設有一個簡單的兩連桿機械臂，D-H 參數如下
| 連桿 | ai | αi? | di? | θi? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | a1 | 0 | 0 | θ1 |
| 2 | a2 | 0 | 0 | θ2 |
連桿1的變換矩陣?A1
連桿2的變換矩陣?A2
總變換矩陣?T
總變換矩陣?T?是各連桿變換矩陣的乘積：
T=A1?A2
4. 計算總變換矩陣
將?A1?和?A2??相乘，得到：
總變換矩陣有什么用
總變換矩陣在機器人學、計算機圖形學和控制系統中具有重要作用，主要用于描述機器人末端執行器（或任何目標點）相對于基坐標系的位置和姿態。以下是總變換矩陣的主要用途：
1.?描述位置和姿態
總變換矩陣?T?是一個 4x4 矩陣，包含旋轉和平移信息：
-
R：3x3 旋轉矩陣，描述末端執行器的姿態（方向）。
-
p：3x1 位置向量，描述末端執行器的位置。
-
0：1x3 零向量，用于齊次坐標的規范化。
通過總變換矩陣，可以清晰地知道機器人末端執行器在空間中的位置和方向。
2.?運動學分析
總變換矩陣是機器人正運動學分析的核心工具。通過將各連桿的變換矩陣相乘，可以得到末端執行器相對于基坐標系的位姿。這對于機器人路徑規劃、軌跡生成和運動控制至關重要。
3.?坐標變換
總變換矩陣可以將一個坐標系中的點或向量轉換到另一個坐標系中。例如：
-
將末端執行器的坐標系中的點轉換到基坐標系。
-
將傳感器數據轉換到機器人基坐標系。
4.?路徑規劃和軌跡生成
在機器人路徑規劃中，總變換矩陣用于計算機器人末端執行器的目標位置和姿態。通過逆運動學，可以進一步求解關節角度，使機器人達到目標位姿。
5.?碰撞檢測
在機器人工作空間中，總變換矩陣可以用于檢測機器人是否與環境中的障礙物發生碰撞。通過計算機器人各連桿的位置和姿態，可以判斷其是否與障礙物相交。
6.?仿真和可視化
在機器人仿真和可視化中，總變換矩陣用于更新機器人模型的位置和姿態。通過實時計算總變換矩陣，可以在仿真環境中動態顯示機器人的運動。
7.?控制系統
在機器人控制系統中，總變換矩陣用于反饋控制。通過傳感器獲取末端執行器的實際位姿，與目標位姿進行比較，可以生成控制信號，驅動機器人達到目標。
8.?多機器人協作
在多機器人系統中，總變換矩陣可以描述不同機器人之間的相對位置和姿態，從而實現協作任務。
示例
假設一個兩連桿機械臂的總變換矩陣為：
-
位置：末端執行器的位置為：
-
姿態：末端執行器的姿態由旋轉矩陣?R?描述。
