1.轉置運算

對于矩陣A，函數t(A)表示矩陣A的轉置，如：

> A=matrix(1:6,nrow=2);

> A;

[,1] [,2] [,3]

[1,]??? 1??? 3??? 5

[2,]??? 2??? 4??? 6

> t(A);

[,1] [,2]

[1,]??? 1??? 2

[2,]??? 3??? 4

[3,]??? 5??? 6

2.求方陣的行列式

函數det()是求矩陣行列式的值，如

> det(matrix(1:4,ncol=2));

[1] -2

3.向量的內積

對于n維向量x，可以看成nxl階矩陣或lxn階矩陣。若x與y是相同

維數的向量，則x%*%Y表示x與y作內積.例如，

>x=1:5; Y=2*1:5

>x%*%y

[，1]

[1，]110

函數crossprod()是內積運算函數(表示交叉乘積)，crossprod(x,y)計算向量x與y的內積，即t(x) %*% y'。crossprod(x)表示x與x的內積.

類似地，tcrossprod(x,y)表示’x%*%t(Y)’，即x與y的外積，也稱為叉積。tcrossprod(x)表示x與x作外積.如：

> x=1:5; y=2*1:5;

> crossprod(x);

[,1]

[1,]?? 55

> crossprod(x,y);

[,1]

[1,]? 110

> tcrossprod(x);

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,]??? 1??? 2??? 3??? 4??? 5

[2,]??? 2??? 4??? 6??? 8?? 10

[3,]??? 3??? 6??? 9?? 12?? 15

[4,]??? 4??? 8?? 12?? 16?? 20

[5,]??? 5?? 10?? 15?? 20?? 25

> tcrossprod(x,y);

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,]??? 2??? 4??? 6??? 8?? 10

[2,]??? 4??? 8?? 12?? 16?? 20

[3,]??? 6?? 12?? 18?? 24?? 30

[4,]??? 8?? 16?? 24?? 32?? 40

[5,]?? 10?? 20?? 30?? 40?? 50

4.向量的外積(叉積)

設x和y是n維向量，則x%o%y表示x與y作外積.例如

> x%o%y;

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,]??? 2??? 4??? 6??? 8?? 10

[2,]??? 4??? 8?? 12?? 16?? 20

[3,]??? 6?? 12?? 18?? 24?? 30

[4,]??? 8?? 16?? 24?? 32?? 40

[5,]?? 10?? 20?? 30?? 40?? 50

outer()是更為強大的外積運算函數，outer(x,y)計算向量二與y的外積，它等價于x %o%y

函數。outer()的一般調用格式為

outer(x，y，fun=”*”)

其中x, y矩陣(或向量)，fun是作外積運算函數，缺省值為乘法運算。函數outer()在繪制三維曲面時非常有用，它可生成一個x和y的網格。

5.矩陣的乘法

設A和B為兩個矩陣，通常意義下的矩陣乘法是通過A%*%B來完成，crossprod(A,B)表示的是

t(A)%*%B，而tcrossprod(A,B)表示的是A%*%t(B)。最后我們通過運算知道x%*%A%*%x為二次型。

例子：

> A=array(1:9,dim=(c(3,3)))

> B=array(9:1,dim=(c(3,3)))

> A%*%B;

[,1] [,2] [,3]

[1,]?? 90?? 54?? 18

[2,]? 114?? 69?? 24

[3,]? 138?? 84?? 30

> crossprod(A,B)==t(A)%*%B;

[,1] [,2] [,3]

[1,] TRUE TRUE TRUE

[2,] TRUE TRUE TRUE

[3,] TRUE TRUE TRUE

> tcrossprod(A,B)==A%*%t(B);

[,1] [,2] [,3]

[1,] TRUE TRUE TRUE

[2,] TRUE TRUE TRUE

[3,] TRUE TRUE TRUE

6.生成對角陣和矩陣取對角運算

函數diag()依賴于它的變量，當v是一個向量時，diag(v)表示以v的元素為對角線元素的對角陣.當M是一個矩陣時，則diag(M)表示的是取M對角線上的元素的向量.如

> v=c(1,4,5);

> diag(v);

[,1] [,2] [,3]

[1,]??? 1??? 0??? 0

[2,]??? 0??? 4??? 0

[3,]??? 0??? 0??? 5

> M=array(1:9,dim=c(3,3));

> diag(M);

[1] 1 5 9

7.解線性方程組和求矩陣的逆矩陣

若求解線性方程組Ax=b，其命令形式為solve(A,b)，求矩陣A的逆，其命令形式為solve(A).設矩陣A=t(array(c(1:8,10),dim=c(3,3))),b

> A=t(array(c(1:8,10),dim=c(3,3)));

> b=c(1,1,1);

> x=solve(A,b);

> x;

[1] -1.000000e+00? 1.000000e+00? 3.806634e-16

> solve(A);

[,1]????? [,2] [,3]

[1,] -0.6666667 -1.333333??? 1

[2,] -0.6666667? 3.666667?? -2

[3,]? 1.0000000 -2.000000??? 1

8.求矩陣的特征值與特征向量

函數eigen(Sm)是求對稱矩陣Sm的特征值與特征向量，其命令形式為:ev=eigen(Sm),則ev存放著對稱矩陣Sm特征值和特征向量，是由列表形式給出的，其中ev$values是Sm的特征值構成的向量，ev$vectors是Sm的特征向量構成的矩陣.如

> Sm=crossprod(A,A);

> ev=eigen(Sm);

> ev;

$values

[1] 303.19533618?? 0.76590739?? 0.03875643

$vectors

[,1]???????? [,2]?????? [,3]

[1,] -0.4646675? 0.833286355? 0.2995295

[2,] -0.5537546 -0.009499485 -0.8326258

[3,] -0.6909703 -0.552759994? 0.4658502