今日，小雨和小明來到網絡中心，繼續與劉老師討論“數的認識”問題。
劉老師說：“還有一種‘埃及分數’需要認識。這是一類分裂分數的思維題，對思維能力的訓練很有價值。”
小明說：“有意思，愿洗耳恭聽。”
劉老師說：“真分數的分子為1，稱埃及分數。將一個分子為1的真分數分解為兩個或兩個以上分子為1的真分數之和，稱埃及分數的分解。
首先我們看一下將1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，作埃及分數分解，即一個埃及分數變為兩個埃及分數之和的結果。
從以上七個數的分解，我們想到兩個問題：通解公式是什么？可分出幾組？
其實這里使用的知識是分解質因數。1/C分解，為了保持分子為1，顯然需要使用約數。方法是分子分母上下同乘(m
+ n)。
若能讓m/C(m+n)和n/C(m+n)為埃及分數，顯然m，n應是C的約數才有可能性。因此，通解公式是：
這里m，n是C的約數。
可組合的組數是：
1．
C有兩個約數時：為兩組。一組是(m=1，n=1)。一組是(m=1，n=C)。
2．
C有三個約數(設為1，T，C)時：為三組。一組是(m=1，n=1)。一組是(m=1，n=T)。一組是(m=1，n=C)。
3．
C有四個約數(設為1，T，S，C)時：為五組。一組是(m=1，n=1)。一組是(m=1，n=T)。一組是(m=1，n=S)。一組是(m=1，n=C)。一組是(m=T，n=S)。”
小雨說：“劉老師，請您先說的具體一些。”
劉老師說：“好，我先舉一個例子：兩個真分數的和可以是個真分數，而且這三個分數的分母誰也不是誰的約數。”
小明說：“還不明白如何作。”
劉老師說：“首先想到此題是埃及分數分解。為了使分解后的三個分母互質。顯然，所選的C至少要有四個約數。在四個約數當中，除掉1和本身C之外的兩個約數作m，n才有可能使C，C(m+n)/m和C(m+n)/n互質。因此，C的最少選擇是6，m
= 2，n = 3。可選1/6 = 1/10 + 1/15。”
小雨說：“有點開竅了，請您作個題，我試試。”
劉老師說：“四個不同的真分數的分子都是1，它們的分母有兩個是奇數，兩個是偶數。而且兩個分母是奇數的分數之和與兩個分母是偶數的分數之和相等。這樣的奇數和偶數很多，小英希望這樣的兩個偶數之和盡量地小，那么這樣的兩個偶數之和最小可能是幾？”
小雨想了想說：“設X，Y為偶數，S，T為奇數。所求結果為1/X + 1/Y = 1/S
+ 1/T。也就是：1/X – 1/S = 1/T –
1/Y。我們按埃及分數分解，且使1/X分解的末項與1/S分解的首項一致而消掉。從而出現1/T
–
1/Y的形式，即是所求答案。為了尋求最小的偶數之和，我們從2，3開始試起：從而我們找到答案為：1/5
+ 1/15 = 1/6 + 1/10。顯然，最小兩個偶數和為6 + 10 = 16。
劉老師說：“作的好。而用幾個自然數組成倒數和為1的類型題目，是埃及分數的一個重要應用。例如：用20以內(包括20)的五個自然數組成倒數和為1。”
小明說：“我能解這個題。”
劉老師說：“你作作看。”
小明說：“我們可以利用公式：《1/n = 1/(n+1) +
1/n(n+1)》來作。
小雨接著說：“我們還可以利用公式：《1/C = m/C(m+n) +
n/C(m+n)》來作。
劉老師說：“你們注意到沒有，你們兩人作的都對，而結論可能不止一個。另外，這個題還可以利用裂項法來作。
以上這三種解法，我們還可以縮小自然數范圍命題，即“用15以內的五個自然數組成倒數和為1。”
小明說：“逆向思維，我們還可以擴大自然數組成數命題，比如：用20以內(包括20)的六個自然數組成倒數和為1。”
劉老師說：“很好，此題你如何作？”
小明說：“我們已經知道，用20以內(包括20)的五個自然數組成倒數和為1的式子是：1
= 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/12 + 1/20。再將1/6拆成1/10 + 1/15，有1 = 1/2
+ 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。”
小雨說：“如果是用20以內(包括20)的七個自然數組成倒數和為1呢？”
小明說：“照方開藥，我們已經知道，用20以內(包括20)的六個自然數組成倒數和為1的式子是：1
= 1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。再將1/2拆成1/3 + 1/6，有1
= 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。”
小明接著又說：“小雨，你不要只讓我作，你也作一個：用20以內(包括20)的八個自然數組成倒數和為1。”
小雨說：“按你說的思路，接著作下去就是了。我們已經知道，用20以內(包括20)的七個自然數組成倒數和為1的式子是：1
= 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20。再將1/6拆成1/9 +
1/18，有1 = 1/3 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 +
1/20。”
劉老師說：“你們不要在作下去了，將無窮盡。在N個自然數組成倒數和為1中，已知一部分自然數，求另一部分自然數，是難度較大的一類題目。”
小雨說：“愿聞。”
劉老師說：“有9個分數的和為1，它們的分子都是1。其中的5個是1/3，1/7，1/9，1/11，1/33，其余4個數的分母個位數都是5，請寫出這4個分數。”
小雨說：“沒有思路。”
劉老師說：“我們可以設：1 = 1/3 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/5X +
1/5Y + 1/5Z + 1/5U ，有1/X + 1/Y + 1/Z + 1/U = 5(1 – 1/3 – 1/7
– 1/9 – 1/11 – 1/33)= 1010/693 = 1 + 317/693。顯然，當X =
1時，1/5X = 1/5。得1/Y + 1/Z + 1/U = 317/693。試：Y = 3，1/5Y =
1/15。有1/Z + 1/U = 86/693。對693分解質因數為3×3×7×11。因為9 +
77 = 86，所以將693分解為9×77。
因此，Z = 9，U = 77。1/5Z = 1/45，1/5U =
1/385。所以，所求的四個分數是1/5，1/15，1/45，1/385。”
小明說：“您講了這么多有關數的問題，請您出一些練習題，我們回去作作。”
劉老師說：“可以。”
劉老師出的練習題是：
1．下面每個字母分別代表不同的數字，而且E×E=H。請你寫出以下算式：
D B J
N D R E E
+ S E N D
C H E E R
2． 三位自然數N的個位數是4，且N = abc – cba 。求：N？
3． 若7×abcxyz =
6×xyzabc。其中x、y、z、a、b、c為不重復的阿拉伯數字。求：六位數abcxyz？
4． 求：
5．有四個學生，他們的年齡是四個連續自然數。這四個數相乘等于3024，這四個學生中最大的年齡是多少？
6． 四個連續自然數的倒數和與36、45的倒數和為1。求此四數。
7．把1997分成幾個自然數的和，再求出這些數的乘積。要使得到的乘積盡可能大，則這時乘積的所有不同質因數的和是多少？
8．有一個93人的旅游團，其中男的有47人，女的有46人，住到某一旅館里。旅館里有可住11人、7人、4人的三種房間，經過服務員的安排，這個旅游團的男女分住在不同的房間里，而且每個房間都按原定人數住滿了旅游團的人，服務員最少動用了多少個房間。
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