樹狀數組三種模型

樹狀數組在區間求和問題上有大用，其三種復雜度都比線段樹要低很多……有關區間求和的問題主要有以下三個模型（以下設A[1..N]為一個長為N的序列，初始值為全0）：

（1）“改點求段”型，即對于序列A有以下操作：

【1】修改操作：將A[x]的值加上c；

【2】求和操作：求此時A[l..r]的和。

這是最容易的模型，不需要任何輔助數組。樹狀數組中從x開始不斷減lowbit(x)（即x&(-x)）可以得到整個[1..x]的和，而從x開始不斷加lowbit(x)則可以得到x的所有前趨。代碼：

void?ADD(int?x,?int?c)
{
?????for?(int?i=x;?i<=n;?i+=i&(-i))?a[i]?+=?c;
}
int?SUM(int?x)
{
????int?s?=?0;
????for?(int?i=x;?i>0;?i-=i&(-i))?s?+=?a[i];
????return?s;
}

?

操作【1】：ADD(x, c);

操作【2】：SUM(r)-SUM(l-1)。

（2）“改段求點”型，即對于序列A有以下操作：

【1】修改操作：將A[l..r]之間的全部元素值加上c；

【2】求和操作：求此時A[x]的值。

這個模型中需要設置一個輔助數組B：B[i]表示A[1..i]到目前為止共被整體加了多少（或者可以說成，到目前為止的所有ADD(i, c)操作中c的總和）。

則可以發現，對于之前的所有ADD(x, c)操作，當且僅當x>=i時，該操作會對A[i]的值造成影響（將A[i]加上c），又由于初始A[i]=0，所以有A[i] = B[i..N]之和！而ADD(i, c)（將A[1..i]整體加上c），將B[i]加上c即可——只要對B數組進行操作就行了。

【首先對于每個數A定義集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))...} 定義集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) ... , 0}。可以發現對于任何A<B，up(A)和down(B)的交集有且僅有一個數。

翻轉一個區間[A,B]（為了便于討論先把原問題降為一維的情況），我們可以把down(B)的所有元素的翻轉次數+1，再把down(A-1)的所有元素的翻轉次數-1。而每次查詢一個元素C時，只需要統計up(C)的所有元素的翻轉次數之和，即為C實際被翻轉的次數】

這樣就把該模型轉化成了“改點求點”型，只是有一點不同的是，SUM(x)不是求B[1..x]的和而是求B[x..N]的和，此時只需把ADD和SUM中的增減次序對調即可（模型1中是ADD加SUM減，這里是ADD減SUM加）。代碼：

void?ADD(int?x,?int?c)
{
?????for?(int?i=x;?i>0;?i-=i&(-i))?b[i]?+=?c;
}
int?SUM(int?x)
{
????int?s?=?0;
????for?(int?i=x;?i<=n;?i+=i&(-i))?s?+=?b[i];
????return?s;
}

操作【1】：ADD(l-1, -c); ADD(r, c);

操作【2】：SUM(x)。

（3）“改段求段”型，即對于序列A有以下操作：

【1】修改操作：將A[l..r]之間的全部元素值加上c；

【2】求和操作：求此時A[l..r]的和。

這是最復雜的模型，需要兩個輔助數組：B[i]表示A[1..i]到目前為止共被整體加了多少（和模型2中的一樣），C[i]表示A[1..i]到目前為止共被整體加了多少的總和（或者說，C[i]=B[i]*i）。

對于ADD(x, c)，只要將B[x]加上c，同時C[x]加上c*x即可（根據C[x]和B[x]間的關系可得）；

而ADD(x, c)操作是這樣影響A[1..i]的和的：若x<i，則會將A[1..i]的和加上x*c，否則（x>=i）會將A[1..i]的和加上i*c。也就是，A[1..i]之和 = B[i..N]之和 * i + C[1..i-1]之和。
這樣對于B和C兩個數組而言就變成了“改點求段”（不過B是求后綴和而C是求前綴和）。
另外，該模型中需要特別注意越界問題，即x=0時不能執行SUM_B操作和ADD_C操作！代碼：

void?ADD_B(int?x,?int?c)
{
?????for?(int?i=x;?i>0;?i-=i&(-i))?B[i]?+=?c;
}
void?ADD_C(int?x,?int?c)
{
?????for?(int?i=x;?i<=n;?i+=i&(-i))?C[i]?+=?x?*?c;
}
int?SUM_B(int?x)
{
????int?s?=?0;
????for?(int?i=x;?i<=n;?i+=i&(-i))?s?+=?B[i];
????return?s;
}
int?SUM_C(int?x)
{
????int?s?=?0;
????for?(int?i=x;?i>0;?i-=i&(-i))?s?+=?C[i];
????return?s;
}
inline?int?SUM(int?x)
{
????if?(x)?return?SUM_B(x)?*?x?+?SUM_C(x?-?1);?else?return?0;
}

操作【1】：
ADD_B(r, c); ADD_C(r, c);
if (l > 1) {ADD_B(l - 1, -c); ADD_C(l - 1, -c);}
操作【2】：SUM(r) - SUM(l - 1)。