本博文為觀看《上海交通大學公開課-數學之旅-函數空間 》所整理筆記，公開課視頻連接：http://open.163.com/newview/movie/free?pid=M8PTB0GHI&mid=M8PTBUHT0

數學中的空間 是 大家研究工作的對象和這些對象遵循的規則 組成的。數學空間的兩個核心要素：元素和結構（線性結構和拓撲結構）（磚塊為一個個元素，按照一定的結構蓋成房子，就有了空間。房子是一個空間，但是一堆任意的磚，不一定是房子，因為，沒有說明結構問題）

說到 距離 ，大多數人腦海里最熟悉的就是兩點之間的歐式距離。實際生活中還有很多很多的距離：地球儀上兩個地點的距離、城區距離、兩條曲線之間的距離（取最大差異為距離，當最大差異都為0，兩條曲線才為一條。）

1.距離：從具體到抽象

兩個向量之間的距離 ，

$x=(x_1,...,x_n)$到$y=(y_1,...,y_n)$之間的距離，可以用下面三種方式衡量：

1.兩向量（點）之間的歐幾里得距離：
$$d_1(x,y)=\sqrt{(x_1?y_1{)}^2+...+(x_n?y_n{)}^2}$$
2.最大分量差
$$d_2(x,y)=max|x_1?y_1|,...,|x_n?y_n|$$
3.城區距離
$$d_3(x,y)=|x_1?y_1|+...+|x_n?y_n|$$
上面三種方式都可以定義為 $x,y$ 之間的距離，它們之間不盡相同，確有著核心的共同點，抽象出來，就可以定義一個更一般的距離。

距離的定義

$X$是一個非空的集合，任意給定一對集合中的元素$x,y$，都能確定一個實數$d(x,y)$與 $x,y$ 對應，并且$d(x,y)$滿足：

1.非負性
$$d(x,y)>=0,d(x,y)=0<=>x=y$$
2.對稱性
$$d(x,y)=d(y,x)$$
3.三角不等式
$$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$$
可稱$d(x,y)$是兩個元素之間的距離。

在集合$X$中定義了 距離，可以度量兩個元素之間的遠近。如果在集合$X$中再規定線性結構，就可以得到一個線性度量空間。

線性結構：向量加法和數乘，且 滿足（7條運算定律）加法的交換律，結合律，零元，負元；數乘的交換律，單位1，數乘與加法的結合律。

2.范數

有了線性度量空間， 可以在此基礎上定義范數

范數的定義

若$R^n$上的映射$||x||$滿足以下三點，稱$||x||$是$R^n$上的范數：

1.非負性
$$||x||>=0,$$
2.其次性（多了一個屬性）
$$||\alpha ||=|\alpha |||x||,?\alpha \in R,x\in R^n$$
3.三角不等式
$$||x+y||<=||x||+||y||,?x,y\in R^n$$
范數可以看做：元素到零點的距離，用于比較不同元素的大小

由范數可以定義距離（范數定義的表達式滿足距離定義中的三點要求，）
$$||x?y||=>d(x,y)$$
由距離不一定能定義范數（距離定義需要多加其次性才能定義范數）：
$$d(0,x)=>||x||$$

$$d(0,\alpha x)=>||\alpha x||$$

$$d(0,\alpha x)=>|\alpha |||x||$$

第三條不能由距離定義推導出來。

3.內積

賦予了范數或者距離的集合分別稱為 賦范空間、度量空間，加上線性結構，稱為 線性賦范空間、線性度量空間

賦范空間，有了向量的模長（度量向量的大小），但是還缺乏一個重要的概念，兩個向量的夾角。

內積定義

設$(x,y)\in R$ 且滿足：

1.對稱性
$$(x,y)=(y,x)$$
2.對第一個變元具有線性性
$$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$$
3.正定性
$$(x,x)>=0,(x,x)=0<=>x=0$$
稱（x,y）為內積。

向量各個分量的乘積累和可以定義為向量內積$(x,y):={\sum }_{i=i}^m{x}_i{y}_i$,

兩個函數的內積:$(f,g):={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)g(x)dx$

內積可以導出范數：
$$(x,x)=>||x|{|}^2$$
內積空間

在線性空間上定義內積，其空間稱為內積空間。內積可以在空間中建立歐幾里得幾何學，如交角，垂直，和投影等，習慣上稱其為歐幾里得空間。（在這個空間做我們習慣的事情大部分都是對的）

希爾伯特空間

1904 年希爾伯特引入無窮實數數組并定義內積，稱其空間為內積空間，在附加完備性，就成為希爾伯特 空間。（無窮維）（完備性空間在極限運算中，取極限不能跑出去）

巴拿赫空間

1922年，巴拿赫提出賦范空間，其完備的賦范空間稱為巴拿赫空間。

4.拓撲

連續的概念不需要內積，甚至不需要距離，所以在距離的基礎上再少一些屬性，就可以定義拓撲（朋友圈）

拓撲-距離-范數-內積，四者從最熟悉的 距離出發，加屬性得到 范數 ，進一步加屬性得到 內積，從距離出發，減屬性，得到 拓撲。（加了屬性，內涵多了，外延就少了；相反內涵少了，外延就多了）

泛函分析： 研究無窮維內積空間/無窮維線性賦范空間中映射的數學分支（線性泛函分析，分線性泛函分析）

拓撲學： 研究拓撲空間的數學分支（點集拓撲，代數拓撲，微分拓撲）

泛函分析，拓撲學，抽象代數，為大學數學系的（新三高）