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歐拉公式

在學習歐拉公式前，需要先理解復數的概念：[復數.md](file:///H:/VNote3/VNote/數學/復數.md)

e

數學常數 $e$ 的冪可以通過極限表示為：

$e^r={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^n$

這里的 $r$ 是任意實數。當 $r=1$ 時，這就是 $e$的標準定義。這個公式可以用來描述以連續復利增長的模式增長的數量，其中 $r$ 是增長率。

視頻地址：用幾何直覺理解歐拉公式！

【歐拉公式直觀化】

歐拉恒等式

$o(1/n)$ 是高階無窮小

歐拉公式

歐拉公式 推導2

歐拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 的推導可以通過多種方法完成。以下是其中一種常見的推導方法，使用泰勒級數展開。

步驟1: 使用泰勒級數展開

首先，我們可以使用泰勒級數將 $e^x$、$\cos x$ 和 $\sin x$ 分別展開為冪級數。

• 對于 $e^x$：
  $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$

• 對于 $\cos x$：
  $\cos x=1?\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}?\frac{x^6}{6!}+\dots$

• 對于 $\sin x$：
  $\sin x=x?\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}?\frac{x^7}{7!}+\dots$

步驟2: 將 $ix$ 代入 $e^x$

現在，我們可以將 $ix$ 代入 $e^x$ 的泰勒級數展開中，并將其與 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的展開式進行比較。

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以上推導得出的就是歐拉公式。

歐拉公式的這一推導清楚地展示了復指數函數與三角函數之間的聯系，并在許多數學、科學和工程應用中起到了核心作用。

復平面上推導歐拉公式

在復平面上推導歐拉公式也是一種有趣和直觀的方法。以下是這一推導方法的步驟：

步驟1：復平面上的復數表示

在復平面上，復數 $z$ 可以用其實部和虛部表示，即 $z=a+bi$。或者，也可以使用極坐標表示，其中模長為 $r$ 幅角為 $\theta$：

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

步驟2：定義復數的指數形式

我們現在想要定義復數的指數形式，并通過此來推導歐拉公式。考慮復數 $w=e^{i\theta }$，我們可以表示其為：

$w=\cos \theta +i\sin \theta$

步驟3：求導

對 $w$ 求導，我們可以得到：

$\frac{dw}{d\theta }=?\sin \theta +i\cos \theta$

同時，我們也可以對 $e^{i\theta }$ 求導得到：

$\frac{d}{d\theta }{e}^{i\theta }=i{e}^{i\theta }$

步驟4：連接兩種形式

由于 $w$ 和 $e^{i\theta }$ 的定義是相同的，因此我們可以將上述導數連接起來：

$?\sin \theta +i\cos \theta =i(\cos \theta +i\sin \theta )$

這就是復平面上的歐拉公式的微分方程形式。

步驟5：求解微分方程

這個微分方程的解即是歐拉公式：

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

此推導在復平面上直觀地展示了歐拉公式，并通過微分方程將復數的指數形式與其三角形式聯系了起來。這一連接在許多數學和工程領域都是非常重要的工具。

歐拉公式 恒等式推導2

當 $\theta$ 等于 $\pi$ 時，我們可以將其帶入歐拉公式，得到一個非常著名的恒等式。

由歐拉公式：

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

我們將 $\theta =\pi$ 代入，得到：

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi$

由于 $\cos \pi =?1$ 和 $\sin \pi =0$，我們有：

$e^{i\pi }=?1+0i=?1$

將這個等式重新排列，得到歐拉恒等式：

$e^{i\pi }+1=0$

這個恒等式以一種簡潔的方式連接了五個最重要的數學常數：0、1、$e$、$i$，和 $\pi$。它被許多數學家和科學家視為數學之美的象征。