保留凸性的方式：一個凸函數在一個隨機變量上的期望仍然是凸函數

設函數 gg 是實數范圍內的一個凸函數，DD 是一個隨機變量， 那么函數 G=EDg(y?D)G=EDg(y?D) 仍然是一個凸函數。

證明：記 θ=θˉˉˉθ=θˉ, yy 與 yˉˉˉyˉ 是任意兩個數

==≥θG(y)+θˉˉˉG(yˉˉˉ)θEDg(y?D)+θˉˉˉEDg(yˉˉˉ?D)ED[θg(y?D)+θˉˉˉ(gyˉˉˉ?D)]ED[g(θy+θˉˉˉyˉˉˉ?D)]=G(θy+θˉˉˉyˉˉˉ?D)□θG(y)+θˉG(yˉ)=θEDg(y?D)+θˉEDg(yˉ?D)=ED[θg(y?D)+θˉ(gyˉ?D)]≥ED[g(θy+θˉyˉ?D)]=G(θy+θˉyˉ?D)?

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