二分查找場景：有序數組尋找一個數、尋找左側邊界（有序數組第一個等目標數的下標）、尋找右側邊界（有序數組最后一個等于目標數的下標）

1 二分查找的框架

int binarySearch(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0,rigth = ...;while(...){int mid = left +(rigth-left)/2;if(nums[mid] == target){...}else if (nums[mid]<target){left = ...;}else if (nums[mid]>target){rigth = ...;}}return ...
}

使用else if是為了把所有情況寫清楚，這樣可以清楚的展現所有細節。本文都使用else if，旨在說清楚，可自行簡化。

其中…標記的部分，就是可能出現細節問題的地方，當你見到一個二分查找的代碼時，首先要注意這幾個地方。

2 尋找一個數（基本的二分搜索）

這個場景是最簡單的，即搜索一個數，如果存在，返回其索引，否則返回-1。

int binarySearch(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0;int right = numsSize-1; //注意while(left<=rigth)  //注意{int mid = left +(right-left)/2;if(nums[mid] == target)return mid;else if(nums[mid]<target){left = mid+1;   //注意}else if(nums[mid]>target){right = mid+1;  //注意}}return -1;
}

• 為什么while的循環條件中是<=，而不是<？
  答：因為初始化right的賦值是numsSize-1，即最后一個元素的索引，而不是numsSize，這二者可能出現在不同功能的二分查找中，區別是：前者相當于兩端都閉區間[left,right]，后者相當于左閉右開區間[left,right)，因為索引大小為numsSize是越界的。
  我們這個算法中使用的是[left,right]兩端都閉的區間，這個區間就是每次進行搜索的區間，那while循環什么時候應該終止？搜索區間為空的時候應該終止，意味著你沒的找了。

while(left<=right)終止條件是left==right+1，寫成區間的形式是[ right+1,right]，這個時候搜索區間為空，直接返回-1.

while(left<right)的終止條件是left==right，寫成區間的形式是[right,right]，者時候區間非空，還有一個數nums[right]，如果此時while循環停止了，就漏掉一個數，如果這個時候返回-1就可能出現錯誤。

• 為什么left=mid+1，right=mid-1？
  本算法的搜索區間兩端都是閉的，即[left,right]。那么當我們發現索引mid不是要找的target時，如果確定下一步的搜索區間呢？
  當然是去搜索[left,mid+1]或者[mid+1,right]，因為mid已經搜索過了，應該從搜索區間去除。
• 此算法有什么缺陷？
  比如說你有有序數組nums=[1,2,2,2,3]，此算法返回的索引是2，但是如果我想得到target的左側邊界，即索引1，或者想得到target的右側邊界，即索引3，這樣的話，此算法是無法處理的。

3 尋找左側邊界的二分搜索

查找左側邊界的數，即在一個有序數組中，找到第一個等于target的下標。比如數組int nums[]={5,7,7,8,8,8,10}，target=8，第一個等于8的下標是3，第一個大于等于8的數組下標也是3。即找到第一個等于target的數等價于 找第一個大于等于targte的數的下標，然后我們判斷該下標所對應的數是否是target。

直接看代碼：

/* 二分查找左側邊界 */
int lower_bound(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;while(left<=right){int mid = left+(right-left)/2;if(nums[mid]>=target){right = mid-1;ans = mid;}else {left = mid+1;}}return ans;
}
int main(void)
{int nums[]={5,7,7,8,8,8,10};int ret;//int p = high_bound(nums,7,8);//printf("%d \n",p);ret = lower_bound(nums,7,8);printf("%d \n",ret);return 0;
}

輸出是3。

當nums[mid]>=target時，說明有大于等于target的數了，我們需要更新ans來記錄大于等于targte的數，right需要更新，然后繼續往在[left,mid-1]區間找大于等于target的數，如果nums[mid]<target，則需要在[mid+1,right]區間找大于等于target的數，left下標所指向的值始終是小于等于target（如果全部數據全部大于target，left將不會變化），所以，當結束時，ans所指向的值是[left,right]區間最后一個大于等于target的值，left下標所指向的值又始終是小于等于target，所以ans所指向的內容是第一個大于等于target的值。

4 尋找右側邊界的二分查找

尋找右側邊界的數，就是找第一個大于target的數，返回其下標減1，int nums[]={5,7,7,8,8,8,10}，最后一個等于8的下標是5，第一個大于8的數是10，其下標是6，減去1是5，找target最后位置等價于找第一個大于target的下標減1，然后判斷該位置上的數是否等于target。
具體代碼為：

/* 二分查找右側邊界 */
int high_bound(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;while(left<=right){int mid = left+(right-left)/2;if(nums[mid]>target){right = mid-1;ans = mid;}else {left = mid+1;}}return ans;     
}
int main(void)
{int nums[]={5,7,7,8,8,8,10};int ret;//int p = high_bound(nums,7,8);//printf("%d \n",p);ret = high_bound(nums,7,8)-1;printf("%d \n",ret);return 0;
}

運行結果是5。
如果nums[mid]>target，有大于target的數了，ans就要去記錄，right更新，right=mid-1 ，如果nums[mid]<=target，則left需要更新，left=mid-1，left指示的內容始終是小于等于target的（如果數據全部大于target，left不會變）。只要left<=right，就會一直縮小區間，當運行結束后，ans所指示的內容是最后一個大于target的數。

5 合并

我們添加一個參數，表示找第一個等于target的數，還是找最后一個等于target的數。

int binarySearch(int* nums, int numsSize, int target, bool lower) {int left = 0, right = numsSize - 1, ans = numsSize;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {right = mid - 1;ans = mid;} else {left = mid + 1;}}return ans;
}

當lower為真時，表示找第一個大于等于target的數，當lowe為假時，表示找第一個大于target的數，返回之后，檢查和上面代碼一樣。

leedcode的第34題：在排序數組中查找元素的第一個和最后一個位置

示例代碼：

/* 
在一個升序數組中，找第一個等于target的數組，即找第一個大于等于target的數，返回其下標，最后判斷
是否等于targettarget。
找最后一個等于target的數組，即找第一個大于target的數，返回其下標減1，最后判斷該下標對應的數是否等于target。
*/
int binarySearch(int *nums,int numsSize,int target,bool lower)
{int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>target || (lower && nums[mid]>=target)){right=mid-1;ans = mid;}else{left=mid+1;}}return ans;
}
/*** Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().*/
int* searchRange(int* nums, int numsSize, int target, int* returnSize){int leftIdx = binarySearch(nums,numsSize,target,true);int rightIdx = binarySearch(nums,numsSize,target,false)-1;int *ret = (int *)malloc(sizeof(int)*2);*returnSize=2;if(leftIdx<=rightIdx && nums[leftIdx]==target && nums[rightIdx]==target){ret[0]=leftIdx;ret[1]=rightIdx;return ret;}ret[0]=-1;ret[1]=-1;return ret;
}