三大平衡樹（Treap + Splay + SBT）總結+模板

Treap樹

　　核心是 利用隨機數的二叉排序樹的各種操作復雜度平均為O(lgn)

Treap模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <utility>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 100005using namespace std;int cnt=1,rt=0; //節點編號從1開始struct Tree
{int key, size, pri, son[2]; //保證父親的pri大于兒子的privoid set(int x, int y, int z){key=x;pri=y;size=z;son[0]=son[1]=0;}
}T[MAXN];void rotate(int p, int &x)
{int y=T[x].son[!p];T[x].size=T[x].size-T[y].size+T[T[y].son[p]].size;T[x].son[!p]=T[y].son[p];T[y].size=T[y].size-T[T[y].son[p]].size+T[x].size;T[y].son[p]=x;x=y;
}void ins(int key, int &x)
{if(x == 0)T[x = cnt++].set(key, rand(), 1);else{T[x].size++;int p=key < T[x].key;ins(key, T[x].son[!p]);if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri)rotate(p, x);}
}void del(int key, int &x) //刪除值為key的節點
{if(T[x].key == key){if(T[x].son[0] && T[x].son[1]){int p=T[T[x].son[0]].pri > T[T[x].son[1]].pri;rotate(p, x);del(key, T[x].son[p]);}else{if(!T[x].son[0])x=T[x].son[1];elsex=T[x].son[0];}}else{T[x].size--;int p=T[x].key > key;del(key, T[x].son[!p]);}
}int find(int p, int &x) //找出第p小的節點的編號
{if(p == T[T[x].son[0]].size+1)return x;if(p > T[T[x].son[0]].size+1)find(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]);elsefind(p, T[x].son[0]);
}int find_NoLarger(int key, int &x) //找出值小于等于key的節點個數
{if(x == 0)return 0;if(T[x].key <= key)return T[T[x].son[0]].size+1+find_NoLarger(key, T[x].son[1]);elsereturn find_NoLarger(key, T[x].son[0]);    
}
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相關題解：

POJ 3481 treap

POJ 1442 treap

POJ 2352 treap

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?

Splay Tree（伸展樹）

　　核心就是 過程Splay(x, y)，即將x節點轉移到y節點的子節點上面（其中y是x的祖先）。

　　利用其中雙旋的優勢能夠保證查詢復雜度均攤為O(lgn)

　　一開始理解有些困難，其實實際上不做深入的理解就是，雙旋的過程就是一個建立相對平衡的二叉樹的一個過程。

　　》對于二叉樹，最極端的情況就是線性插入，使得整棵二叉樹退化為一條鏈。比如你查詢鏈的最后一個節點，之后再次查詢第一個節點。

　　　　1）若只是單旋通過Splay(x, 0)將最后一個節點移動到根節點，需要O(n)復雜度，而查詢第一個節點時又需要O(n)復雜度，來來往往就退化成一條鏈了。

　　　　2）若是雙旋Splay(x, 0)將最后一個節點移動到根節點上時，移動過程中建立起了相對平衡的二叉樹，需要O(n)，也就是查詢第一個節點時，大概是需要O(lgn)復雜度。這就降低了復雜度。可以證明，總的每個操作的均攤復雜度是O(lgn)。

　　　　具體證明可以參見 楊思雨《伸展樹的基本操作與應用》

?

I 用于維護單調隊列：（以key為維護對象保證單調）

常用版：（支持相同值）

Struct Tree{

　　int key, size, fa, son[2];

}

void PushUp(int x);

void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

void Splay(int x, int To) //將x節點插入到To的子節點中

int find(int key) //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處

int prev() //返回比根值小的最大值 若無返回0 若有將其轉移到根處

int succ() //返回比根值大的最小值 若無返回0 若有將其轉移到根處

void Insert(int key) //插入key 并且將該節點轉移到根處

void Delete(int key) //刪除值為key的節點 若有重點只刪其中一個 x的前驅移動到根處

int GetPth(int p) //獲得第p小的節點 并將其轉移到根處

int GetRank(int key) //獲得值<=key的節點個數 并將其轉移到根處 若<key只需將<=換為<

模板：
int cnt=1, rt=0;struct Tree
{int key, size, fa, son[2];void set(int _key, int _size, int _fa){key=_key;size=_size;fa=_fa;son[0]=son[1]=0;}
}T[MAXN];inline void PushUp(int x)
{T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1;
}inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
{int y=T[x].fa;T[y].son[!p]=T[x].son[p];T[T[x].son[p]].fa=y;T[x].fa=T[y].fa;if(T[x].fa)T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x;T[x].son[p]=y;T[y].fa=x;PushUp(y);PushUp(x);
}void Splay(int x, int To) //將x節點插入到To的子節點中
{while(T[x].fa != To){if(T[T[x].fa].fa == To)Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x);else{int y=T[x].fa, z=T[y].fa;int p=(T[z].son[0] == y);if(T[y].son[p] == x)Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋elseRotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
        }}if(To == 0) rt=x;
}int find(int key) //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處
{int x=rt;while(x && T[x].key != key)x=T[x].son[key > T[x].key];if(x) Splay(x, 0);return x;
}int prev() //返回比根值小的最大值 若無返回0 若有將其轉移到根處
{int x=T[rt].son[0];if(!x) return 0;while(T[x].son[1])x=T[x].son[1];Splay(x, 0);return x;
}int succ() //返回比根值大的最小值 若無返回0 若有將其轉移到根處
{int x=T[rt].son[1];if(!x) return 0;while(T[x].son[0])x=T[x].son[0];Splay(x, 0);return x;
}void Insert(int key) //插入key 并且將該節點轉移到根處
{if(!rt)T[rt = cnt++].set(key, 1, 0);else{int x=rt, y=0;while(x){y=x;x=T[x].son[key > T[x].key];}T[x = cnt++].set(key, 1, y);T[y].son[key > T[y].key]=x;Splay(x, 0);}
}void Delete(int key) //刪除值為key的節點 若有重點只刪其中一個 x的前驅移動到根處
{int x=find(key);if(!x) return;int y=T[x].son[0];while(T[y].son[1])y=T[y].son[1];int z=T[x].son[1];while(T[z].son[0])z=T[z].son[0];if(!y && !z){rt=0;return;}if(!y){Splay(z, 0);T[z].son[0]=0;PushUp(z);return;}if(!z){Splay(y, 0);T[y].son[1]=0;PushUp(y);return;}Splay(y, 0);Splay(z, y);T[z].son[0]=0;PushUp(z);PushUp(y);
}int GetPth(int p) //獲得第p小的節點 并將其轉移到根處
{if(!rt) return 0;int x=rt, ret=0;while(x){if(p == T[T[x].son[0]].size+1)break;if(p>T[T[x].son[0]].size+1){p-=T[T[x].son[0]].size+1;x=T[x].son[1];}elsex=T[x].son[0];}Splay(x, 0);return x;
}int GetRank(int key) //獲得值<=key的節點個數 并將其轉移到根處 若<key只需將<=換為<
{if(!rt) return 0;int x=rt, ret=0, y;while(x){y=x;if(T[x].key <= key){ret+=T[T[x].son[0]].size+1;x=T[x].son[1];}elsex=T[x].son[0];}Splay(y, 0);return ret;
}
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?

完全版：（支持相同值，支持區間刪除，支持懶惰標記）

Struct Tree{

　　int key, num, size, fa, son[2];

}

void PushUp(int x);

void PushDown(int x);

int Newnode(int key, int fa); //新建一個節點并返回

void Rotate(int x, int p);?//0左旋 1右旋

void Splay(int x, int To);?//將x節點移動到To的子節點中

int GetPth(int p, int To); //返回第p小的節點 并移動到To的子節點中

int Find(int key); //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處

int Prev(); //返回根節點的前驅

int Succ(); //返回根結點的后繼

void Insert(int key); //插入key值

void Delete(int key); //刪除值為key的節點

int GetRank(int key); //獲得值<=key的節點個數

void Delete(int l, int r); //刪除值在[l, r]中的節點

模板：
int cnt, rt;
int Add[MAXN];struct Tree{int key, num, size, fa, son[2];
}T[MAXN];inline void PushUp(int x)
{T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+T[x].num;
}inline void PushDown(int x)
{if(Add[x]){if(T[x].son[0]){T[T[x].son[0]].key+=Add[x];Add[T[x].son[0]]+=Add[x];}if(T[x].son[1]){T[T[x].son[1]].key+=Add[x];Add[T[x].son[1]]+=Add[x];}Add[x]=0;}
}inline int Newnode(int key, int fa) //新建一個節點并返回
{++cnt;T[cnt].key=key;T[cnt].num=T[cnt].size=1;T[cnt].fa=fa;T[cnt].son[0]=T[cnt].son[1]=0;return cnt;
}inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
{int y=T[x].fa;PushDown(y);PushDown(x);T[y].son[!p]=T[x].son[p];T[T[x].son[p]].fa=y;T[x].fa=T[y].fa;if(T[x].fa)T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x;T[x].son[p]=y;T[y].fa=x;PushUp(y);PushUp(x);
}void Splay(int x, int To) //將x節點移動到To的子節點中
{while(T[x].fa != To){if(T[T[x].fa].fa == To)Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x);else{int y=T[x].fa, z=T[y].fa;int p=(T[z].son[0] == y);if(T[y].son[p] == x)Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋elseRotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
        }}if(To == 0) rt=x;
}int GetPth(int p, int To) //返回第p小的節點 并移動到To的子節點中
{if(!rt || p > T[rt].size) return 0;int x=rt;while(x){PushDown(x);if(p >= T[T[x].son[0]].size+1 && p <= T[T[x].son[0]].size+T[x].num)break;if(p > T[T[x].son[0]].size+T[x].num){p-=T[T[x].son[0]].size+T[x].num;x=T[x].son[1];}elsex=T[x].son[0];}Splay(x, 0);return x;
}int Find(int key) //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處
{if(!rt) return 0;int x=rt;while(x){PushDown(x);if(T[x].key == key) break;x=T[x].son[key > T[x].key];}if(x) Splay(x, 0);return x;
}int Prev() //返回根節點的前驅 非重點
{if(!rt || !T[rt].son[0]) return 0;int x=T[rt].son[0];while(T[x].son[1]){PushDown(x);x=T[x].son[1];}Splay(x, 0);return x;
}int Succ() //返回根結點的后繼 非重點
{if(!rt || !T[rt].son[1]) return 0;int x=T[rt].son[1];while(T[x].son[0]){PushDown(x);x=T[x].son[0];}Splay(x, 0);return x;
}void Insert(int key) //插入key值
{if(!rt)rt=Newnode(key, 0);else{int x=rt, y=0;while(x){PushDown(x);y=x;if(T[x].key == key){T[x].num++;T[x].size++;break;}T[x].size++;x=T[x].son[key > T[x].key];}if(!x)x=T[y].son[key > T[y].key]=Newnode(key, y);Splay(x, 0);}
}void Delete(int key) //刪除值為key的節點1個
{int x=Find(key);if(!x) return;if(T[x].num>1){T[x].num--;PushUp(x);return;}int y=T[x].son[0];while(T[y].son[1])y=T[y].son[1];int z=T[x].son[1];while(T[z].son[0])z=T[z].son[0];if(!y && !z){rt=0;return;}if(!y){Splay(z, 0);T[z].son[0]=0;PushUp(z);return;}if(!z){Splay(y, 0);T[y].son[1]=0;PushUp(y);return;}Splay(y, 0);Splay(z, y);T[z].son[0]=0;PushUp(z);PushUp(y);
}int GetRank(int key) //獲得值<=key的節點個數
{if(!Find(key)){Insert(key);int tmp=T[T[rt].son[0]].size;Delete(key);return tmp;}elsereturn T[T[rt].son[0]].size+T[rt].num;
}void Delete(int l, int r) //刪除值在[l, r]中的所有節點 l!=r
{if(!Find(l)) Insert(l);int p=Prev();if(!Find(r)) Insert(r);int q=Succ();if(!p && !q){rt=0;return;}if(!p){T[rt].son[0]=0;PushUp(rt);return;}if(!q){Splay(p, 0);T[rt].son[1]=0;PushUp(rt);return;}Splay(p, q);T[p].son[1]=0;PushUp(p);PushUp(q);
}
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(經測NOI2004郁悶的出納員 POJ3481 POJ2352 POJ1442)

速度相對來說都還不錯，POJ這些都3~500ms，郁悶的出納員900多ms

?

相關題解：

HNOI 2002 營業額統計

POJ 3481 splay

POJ 2352 splay

POJ 1442 splay

NOI2004 郁悶的出納員?

?

II 用于維護序列：（以序列下標為對象維護，相當于對區間操作）（能夠完成線段樹的操作及其不能完成的操作）

?Struct Tree{

　　int key, sum, size, fa, son[2];

}

支持操作：

void PushUp(int x);

void PushDown(int x);

int MakeTree(int l, int r, int a[]); //新建一個子樹返回根節點

void Rotate(int x, int p);?//0左旋 1右旋

void Splay(int x, int To);?//將x節點移動到To的子節點中

int Select(int p, int To); //將第p個數移動到To的子節點中 并返回該節點

int Find(int key); //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處

int Prev(); //返回根節點的前驅

int Succ(); //返回根結點的后繼

void Insert(int p, int l, int r, int a[]) //將a[l .. r]的數插入到下標為p后面

void Delete(int l, int r); //刪除區間[l, r]中的節點

int Query(int l, int r); //返回[l, r]的和

待補充。。

?

Size Balance Tree

　　和上述兩種二叉樹比起來，SBT可能是最像真正平衡二叉樹吧。

　　SBT能夠保證樹的高度在lgn，這樣對于插入，刪除操作都能夠準確保證時間復雜度在O(lgn)

　　Maintain操作事實上理解起來也是挺簡單的，至于證明參見CQF神牛的《SBT》

?

int cnt, rt;struct Tree
{int key, size, son[2];
}T[MAXN];inline void PushUp(int x)
{T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1;
}inline int Newnode(int key)
{++cnt;T[cnt].key=key;T[cnt].size=1;T[cnt].son[0]=T[cnt].son[1]=0;return cnt;
}void Rotate(int p, int &x)
{int y=T[x].son[!p];T[x].son[!p]=T[y].son[p];T[y].son[p]=x;PushUp(x);PushUp(y);x=y;
}void Maintain(int &x, int p) //維護SBT的!p子樹
{if(T[T[T[x].son[p]].son[p]].size > T[T[x].son[!p]].size)Rotate(!p, x);else if(T[T[T[x].son[p]].son[!p]].size > T[T[x].son[!p]].size)Rotate(p, T[x].son[p]), Rotate(!p, x);else return;Maintain(T[x].son[0], 0);Maintain(T[x].son[1], 1);Maintain(x, 0);Maintain(x, 1);
}inline int Prev() //返回比根值小的最大值 若無返回0
{int x=T[rt].son[0];if(!x) return 0;while(T[x].son[1])x=T[x].son[1];return x;
}inline int Succ() //返回比根值大的最小值 若無返回0
{int x=T[rt].son[1];if(!x) return 0;while(T[x].son[0])x=T[x].son[0];return x;
}void Insert(int key, int &x)
{if(!x) x=Newnode(key);else{T[x].size++;Insert(key, T[x].son[key > T[x].key]);Maintain(x, key > T[x].key);}
}bool Delete(int key, int &x) //刪除值為key的節點 key可以不存在
{if(!x) return 0;if(T[x].key == key){if(!T[x].son[0]){x=T[x].son[1];return 1;}if(!T[x].son[1]){x=T[x].son[0];return 1;}int y=Prev();T[x].size--;return Delete(T[x].key, T[x].son[0]);}elseif(Delete(key, T[x].son[key > T[x].key])){T[x].size--;return 1;}
}int GetPth(int p, int &x) //返回第p小的節點
{if(!x) return 0;if(p == T[T[x].son[0]].size+1)return x;if(p > T[T[x].son[0]].size+1)return GetPth(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]);elsereturn GetPth(p, T[x].son[0]);
}int GetRank(int key, int &x) //找出值<=key的節點個數
{if(!x) return 0;if(T[x].key <= key)return T[T[x].son[0]].size+1+GetRank(key, T[x].son[1]);elsereturn GetRank(key, T[x].son[0]);
}
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?

相關題解：

POJ 3481 SBT做法

?

上述題均為用于測試平衡樹基本操作的題目。

提高題：（暫時未寫）

[NOI2005]維修數列

[POJ3580]SuperMemo

[HNOI2004]寵物收養所

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/Mathics/p/3971220.html

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文章目錄引用css和js使用htmljavascriptflaskmysql參考引用css和js Bootstrap-table為這些文件提供了 CDN 的支持&#xff0c;所以不需要下載.js .css文件就可以直接用了&#xff0c;十分方便 <!-- Latest compiled and minified CSS --> <link rel"stylesheet…
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php編碼規則(一)

php編碼規則(一)

---恢復內容開始--- <轉載自己整理> GNU C 庫&#xff08;GNU C Library&#xff0c;又稱為glibc&#xff09;是一種按照LGPL許可協議發布的&#xff0c;公開源代碼的&#xff0c;免費的&#xff0c;方便從網絡下載的C的編譯程序。 GNU C運行期庫&#xff0c;是一種C函數…
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重新想象 Windows 8.1 Store Apps (89) - 通信的新特性: 下載數據, 上傳數據, 上傳文件...

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重新想象 Windows 8.1 Store Apps (89) - 通信的新特性: 下載數據, 上傳數據, 上傳文件 原文:重新想象 Windows 8.1 Store Apps (89) - 通信的新特性: 下載數據, 上傳數據, 上傳文件[源碼下載] 重新想象 Windows 8.1 Store Apps (89) - 通信的新特性: 下載數據, 上傳數據, 上傳…
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【經驗貼】smartCarers在比賽后如何獲取更好的發展

【經驗貼】smartCarers在比賽后如何獲取更好的發展

博主聯系方式： QQ:1540984562 QQ交流群：892023501 群里會有往屆的smarters和電賽選手，群里也會不時分享一些有用的資料，有問題可以在群里多問問。 由于最近專欄開了付費，群友讓更新一些經驗貼，于是有了這篇文章。 一般來說，比賽完了之后是大二結束的暑假，此時有這么幾條…
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isset（）和empty()到底區別是什么。

isset（）和empty()到底區別是什么。

一招鮮吃遍天&#xff0c;自從看了燕十八關于PHP變量內部機制的那課&#xff0c;解釋了一些很久的疑惑&#xff0c;知其然還知其所以然&#xff0c;果然是學習的最佳途徑&#xff0c;比背下來要重要N倍。 我們知道一個變量有變量表的位置&#xff0c;然后他指向自己的內存地址&…
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html清除圖片緩存

html清除圖片緩存

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