度量空間的基本性質

收斂性

$\bf命題：$?

連續性

$\bf命題：$?

稠密性

$\bf命題：$設$E$為度量空間$X$中的點集，則$E$在$X$中稠密的充要條件是對任意的$x \in X$，存在點列$\left\{ {{x_n}} \right\} \subset E$，使得${x_n} \to x\left( {n \to \infty } \right)$

方法一

$\bf命題：$設$E$為度量空間$X$中的點集，則$E$在$X$中疏朗的充要條件是對$X$中的任一非空開球$V$，存在非空開球$U \subset V$，使得$U \cap E =\emptyset$

方法一

$\bf命題：$

完備性

$\bf(閉球套定理)$設$X$是完備的度量空間，${B_n} = \left\{ {x\left| {d\left( {x,{x_n}} \right) \le {\varepsilon _n}} \right.} \right\}$是$X$中的一列閉球\[{B_1} \supset {B_2} \supset ?\cdots ?\supset {B_n} \supset ?\cdots \]

若球的半徑${\varepsilon _n} \to 0$，則存在唯一的點$x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty ?{{B_n}} $

方法一

$\bf(Baire綱定理)$完備的度量空間必是第二綱的

方法一

$\bf(Banach不動點定理)$設$(X,d)$為完備的度量空間，$T$為壓縮算子，則存在唯一的$x$，使得$Tx=x$

方法一

$\bf(Banach不動點定理)$

緊致性

$\bf命題：$?

?