Catalan卡塔蘭數

卡塔蘭數

　　卡塔蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭?(1814–1894)命名。

　　卡塔蘭數的一般項公式為? $C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$ ?????????????????????

　　另類遞歸式：? h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

　　前幾項為: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

性質

　　C_n的另一個表達形式為 $C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1$ ?

　　所以，C_n是一個自然數；這一點在先前的通項公式中并不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。(見下文的第二個證明。)

卡塔蘭數滿足以下遞推關系

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

它也滿足

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增長為

$C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$

它的含義是左式除以右式的商趨向于1當n?→?∞。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）

所有的奇卡塔蘭數C_n都滿足 $n ?= 2 k ?? 1。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。$

應用

　　組合數學中有非常多.的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用C_n=3和C_n=4舉若干例：

C_n表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大于等于Y的個數。以下為長度為6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

將上例的X換成左括號，Y換成右括號，C_n表示所有包含n組括號的合法運算式的個數:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

C_n表示有n+1個葉子的二叉樹的個數。

? ??

C_n表示所有不同構的含n個分枝結點的滿二叉樹的個數。（一個有根二叉樹是滿的當且僅當每個結點都有兩個子樹或沒有子樹。）

證明：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多于1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數共有 ${2n \choose n}$ 個，下面考慮不滿足要求的數目.

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則后面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以后的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

從而 $C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 。證畢。

C_n表示所有在n?×?n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價于計算Dyck word的個數： X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n?= 4的情況：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

C_n表示通過連結頂點而將n?+?2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數。下圖中為n?= 4的情況：? ? ??

C_n表示對{1, ...,?n}依序進出棧的置換個數。一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, ...,?n), 其中S(w)遞歸定義如下：令w?=?unv，其中n為w的最大元素，u和v為更短的數列；再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S為所有含一個元素的數列的單位元。

C_n表示集合{1, ...,?n}的不交叉劃分的個數. 那么,?C_n?永遠不大于第n項貝爾數.?C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉劃分的個數，其中每個段落的長度為2。綜合這兩個結論，可以用數學歸納法證明 that all of the?free?cumulants of degree more than 2 of the?Wigner semicircle law?are zero. This law is important in?free probability?theory and the theory of?random matrices.

C_n表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為?n?=?4的情況:

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　　我總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞歸等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞歸式了）
1.括號化問題。
　　矩陣鏈乘：?P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題。
　　一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
　　類似：
　　(1)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
　　(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
3.將多邊行劃分為三角形問題。
　　將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
　　類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她
　　從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？
　　類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題。
　　給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
　　(一定是二叉樹!
　　先去一個點作為頂點,然后左邊依次可以取0至N-1個相對應的,右邊是N-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1)?+?h(2)*h(n-2)?+??+?h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能構成h（N）個）

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