卡方檢驗作為一種非常著名的非參數檢驗方法（不受總體分布因素的限制），在工程試驗、臨床試驗、社會調查等領域被廣泛應用。但是也正是因為使用的便捷性，造成時常被誤用。本文參閱相關的文獻，對卡方檢驗的適用性進行粗淺的論述。

首先，從技術角度來看，（1）卡方檢驗的樣本涉及的因素（也就是變量）需要兩個（含）以上，而且是定性變量（分類變量，定類變量），其值可以是數字，也可以符號，但是即使是數字也不具備數量的含義，只是用于區分。比如性別變量，它的值可以是男或女，也可以是0或1，A或B；（2）其樣本數據是由多個因素在不同水平（取值）情況下共同決定的數據，直觀上表現為列聯表（交互分類表，交叉表），形如下表。

某項產品的地區調查（人）

	北京	上海
滿意	600	480
一般	120	150
不滿意	80	70

上表涉及的因素（變量）有兩個，分別是地區和滿意度，其值分別是[北京，上海]和[滿意，一般，不滿意]。而樣本是由兩個變量的不同取值作用下的統計數據，可以是總和，也可以是平均數，或者其他統計量。

其次，從應用的角度來看，我們的目的是要進行無差異推斷，或者不相關推斷（無差異等價于不相關）。比如上述問題可以回答北京、上海兩地對該產品的滿意度是否無差異，或者說對該產品的滿意度是否與上述地區不相關。通過即調用卡方檢驗函數，獲得p=0.00472，在顯著性水平0.05下，兩地滿意度無差異（或與地區不相關）的假設被拒絕。于是我們可以認為“兩地對某產品的滿意度是有差異的”或“某產品的滿意度與地區有相關性”。代碼如下：

#chi2_contingency是卡方檢驗函數
from scipy.stats import chi2_contingency
import numpy as np
#定義樣本數據
X= np.array([[600,120,80],[480,150,70]])
chi2_contingency(X)

結果:(10.714285714285714, 0.004714356473549276, 2, array([[576., 144.,  80.],[504., 126.,  70.]]))。這些數值分別為卡方值、p值、自由度和理論值。

還有一種特殊情況，就是樣本數據只有一組，也就是說表面上看因素只有一個，這種情況實際是進行“試驗值（實際值，經驗值）與理論值的無差異”推斷。如下例：

進行拋硬幣試驗，進行七輪，每輪拋20次，數據如下表所示。是否可以認為硬幣正面與反面（只有這兩種情況）朝上的概率相同。

硬幣正面向上的頻數

第一輪	第二輪	第三輪	第四輪	第五輪	第六輪	第七輪
8	12	10	7	9	8	9

乍一看，此樣本只有一組數據，而結合要解答的問題，實際上還有一組數據，即理論值。該理論值是等概率條件下硬幣正面向上的次數，也就是每輪都是10。于是樣本就變成了

硬幣正面向上的頻數

第一輪	第二輪	第三輪	第四輪	第五輪	第六輪	第七輪
8	12	10	7	9	8	9
10	10	10	10	10	10	10

通過將上述樣本數據帶入卡方檢驗函數，p=0.98928。即在顯著性水平0.05下，我們接受“硬幣正面與反面朝上的概率相同”這一假設。

再來看一個例子，某餐廳對一年內每周內每天的營業額進行統計（均值），看看營業情況是否存在時間方面的差異，數據如下。

一周的營業額統計（萬元）

周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
9	11	6	7	8	15	10

該問題同樣是一種“試驗值（實際值，經驗值）與理論值的無差異”推斷問題。只不過理論值的與上例不同。如果我們認為營業額與時間無關，也就意味的每天營業額是相同的，于是理論值將由每天營業額的均值來體現。即樣本數據為：

一周的營業額統計（萬元）

周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
9	11	6	7	8	15	10
9.42	9.42	9.42	9.42	9.42	9.42	9.42

通過將上述樣本數據帶入卡方檢驗函數，p=0.85073。即在顯著性水平0.05下，我們接受“營業額不存在時間方面的差異”這一假設。盡管從表面來看，該結果不太容易被接受，似乎周末營業情況更好，但是放眼總體（更長的時間范圍），并不能支持直觀感受。

***********************接下來劃重點，舉一個非常有代表性的誤用卡方檢驗的例子***************

某調查機構調查了不同收入水平話費支出的情況，試圖分析收入水平是否與話費支出水平相關。數據如下

收入	3000	4000	5000	6000	7000	8000	10000
話費	90	100	150	180	200	300	400

然后對兩組數據進行了卡方檢驗，p=0.000006。結論：拒絕兩者不相關的假設。也就是說收入水平與話費支出水平是相關的。從結果來看是沒有問題的，兩組數據確實是顯著正相關的，其皮爾遜相關系數corr=0.9758。但是從樣本數據本身來看，不符合使用卡方檢驗的適用條件。因為：

（1）收入和話費兩個因素不是定性變量，而是定量變量。

（2）樣本值也不是兩個因素共同確定的數值，而是歸屬于每個因素本身。

對于此類問題使用相關系數才是合理的。

如果上述調查結果改為不同收入水平和話費支出水平下的用戶數量，則可以應用卡方檢驗。比如數據轉換為

	3000	4000	5000	6000	7000	8000	10000
<=90	85	30	24	7	18	12	3
90-100	7	100	11	29	12	9	5
100-150	15	20	75	14	10	6	8
150-200	5	4	5	90	19	16	1
200-250	6	9	8	3	50	11	3
250-300	3	16	15	14	15	80	6
>300	2	9	4	19	13	20	90

使用卡方檢驗后<0.05，于是我們可以拒絕收入水平與話費支出水平不相關的假設，也就是說收入水平會影響（或決定）話費支出水平。