前言

本節繼續研究子空間，特別是矩陣的列空間（column space）和零空間（nullspace）。

子空間綜述

所謂的“向量空間”是對于線性運算封閉的向量集合。即對于空間中的任意向量 v 和 w，其和 v+w 和數乘 cv 必屬于該空間；換而言之對于任何實數 c 和 d，線性組合 cv+dw 必屬于該空間。

$R^1$，$R^2$,$R^3$……都是重要的向量空間，$R^n$代表的空間包含所有具有 n 個分量的向量。其中字母 R 表明分量均為實數（real）。

“子空間”為包含于向量空間內的一個向量空間。它是原向量空間的一個子集，而且本身也滿足向量空間的要求。但是“子空間”和“子集”的概念有區別，所有元素都在原空間之內就可稱之為子集，但是要滿足對線性運算封閉的子集才能成為子空間。

任意子空間 S 和 T 的交集都是子空間，可以通過 S 和 T 本身對線性組合封閉來證明。

列空間 Column space

矩陣 A 的列空間 C(A)是其列向量的所有線性組合所構成的空間。

求解 Ax=b 的問題，對于給定的矩陣 A，對于任意的 b 都能得到解么？
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$$

顯然并不是所有的 b 都能保證 Ax=b 有解，因為它有 4 個線性方程而只有 3 個未知數，矩陣 A 列向量的線性組合無法充滿 R4，因此如果 b 不能被表示為 A 列向量的線性組合時，方程是無解的。只有當 b 在矩陣 A 列空間 C(A)里時，x 才有解。

對于我們所給定的矩陣 A，由于列向量不是線性無關的，第三個列向量為前兩個列向量之和，所以盡管有 3 個列向量，但是只有 2 個對張成向量空間有貢獻。矩陣 A 的列空間為 R4內的一個二維子空間。

零空間（或化零空間）Nullspace

矩陣 A 的零空間 N(A)是指滿足 Ax=0 的所有解的集合。
對于所給定這個矩陣A，其列向量含有 4 個分量，因此列空間是空間 $R^4$的子空間，x 為含有 3 個分量的向量，故矩陣 A 的零空間是 $R^3$的子空間。對于 m x n 矩陣，列空間為 $R^m$的子空間，零空間為 $R^n$空間的子空間。
本例中矩陣 A 的零空間 N(A)為包含$$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ?1\end{array}\right]$$

的任何倍數的集合，因為很容易看到第一列向量（1）和第二列向量（1）相加減去第三列向量（-1）為零。此零空間為
R3中的一條直線。
為了驗證 Ax=0 的解集是一個向量空間，我們可以檢驗它是否對線性運算封閉。若 v 和 w 為解集中的元素，則有：
A(v+w)=Av+Aw=0+0=0，
A(cv)=cAv=0
因此得證 N(A)確實是 Rn空間的一個子空間。

b 值的影響 Other values of b

本講給出了關于矩陣的兩種子空間，同時給出了兩種構造子空間的方法。對于列空間，它是由列向量進行線性組合張成的空間；而零空間是從方程組出發，通過讓 x 滿足特定條件而得到的子空間。