說明算法設計應用之前，首先明確異或空間線性基：一種數據結構。用于處理異或關系（運算）下的向量空間。

1.什么是異或（定義和性質）

（1）定義
異或，即XOR，exclusive OR，是一種邏輯運算，當兩個輸入值相同時輸出0（false），不同時輸出1（true）。記作⊕ 或 ^，異或門是半加器、全加器的核心組件。
（2）性質
異或的性質：
①交換律；
②結合律；
③自反性：自己異或結果為0，A⊕ A=0；
④A⊕ 0=A；
⑤可逆性：若A⊕ B=C，則A⊕ C=B，反之亦然。

2.異或空間線性基的構造方法

前置知識：規定，線性空間： 設正整數有限集S，
span(S)={XOR(T)∣T≠?,T?S}.\mathrm{span}(S)=\{\mathrm{XOR}(T)∣T≠?, T?S\}.span(S)={XOR(T)∣T=?,T?S}.
基：去掉dependent的向量。舉例：單位矩陣。
異或和：
$$\mathrm{XOR}(S)=S1\mathrm{xor}S2\mathrm{xor}...\mathrm{xor}Sn$$

構造方法如下：
初始化一個線性基數組base，長度為二進制位數（如：32位），初始值為0；
對于每個數x，從高位到低位檢查：
若x的第i位為1，檢查base[i]是否為空；
①若為空，將x存入base[i]，結束；
②若不為空，將x異或base[i]，并繼續處理下一位。
C++代碼：

void insert(int x) {for (int i = 30; i >= 0; i--) {if ((x >> i) & 1) {//x右移i位，和1按位運算，判斷最低位1還是0if (!base[i]) {base[i] = x;//文中①情況。。。return;}x ^= base[i];//文中②情況。。。}}
}

3.異或空間線性基的應用

（1）通過求解線性基，合并不同集合；
（2）求解異或空間中的第k小值（或第k大值）：先對線性基進行重構，保證每個基最高位唯一，然后將k二進制表示的數與重構后的基對應位進行匹配。
（3）判斷某數能否用線性基表示：將該數插入線性基，如果最終被消為0，則可以表示。

補充： 這樣應用的復雜度分析：
1）構建線性基的時間復雜度為 $O(n\log C)$，其中 $C$ 是數的最大值。
2）查詢操作的時間復雜度通常為 $O(\log C)$。
3）空間復雜度為 $O(\log C)$。

4.算法設計例舉

異或空間線性基作為一種工具，涉及算法設計應用很多，不詳細展開。（1）加密算法設計。利用可逆性加密，還有快速計算異或空間；
（2）某些博弈問題中，（結合異或和）可用于分析必勝策略；
（3）校驗算法設計。利用異或檢測數據一致性。
（4）排序，先按值排序，異或了一個線性基之后肯定更大；
（5）求解問題。獲取計算異或和、最大值、最小值等等。。。

5.小結

線性基在處理異或（XOR）問題時非常有效率，廣泛應用于競賽編程和算法設計中。通過合理利用異或線性基，可以高效解決許多與異或運算相關的算法問題。