酉矩陣（Unitary Matrix）和隨機矩陣

? ? 先討論酉矩陣（Unitary Matrix）的性質。

1. 酉矩陣定義

酉矩陣（Unitary Matrix）是復數域上的方陣，滿足以下條件：

? ? ? ?? $U^* U = U U^* = I$
其中：

$U^*$ ?是 $U$ ?的共軛轉置（即 Hermitian 轉置， $U^* = \overline{U}^T$ ?）。

$I$ ?是單位矩陣。

特殊情形（實數域）：
如果 $U$ ?是實矩陣，則 $U^* = U^T$ ，此時酉矩陣退化為正交矩陣（Orthogonal Matrix），滿足：

$U^T U = U U^T = I$

2. 酉矩陣性質

酉矩陣具有以下重要性質：

可逆性
$U$ ?可逆，且 $U^{-1} = U^*$

保內積
對任意向量 $x, y \in \mathbb{C}^n$ ，有：

? ? ? ? ? ? ? ?? $\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$
其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ ?是標準 Hermitian 內積

保范數
$\| Ux \| = \| x \|$ ，即酉變換不改變向量的長度

特征值
酉矩陣的所有特征值 $\lambda$ ?滿足 $|\lambda| = 1$ ，即位于復平面的單位圓上。

行列式
$|\det(U)| = 1$ ，即行列式的模為 1。

列（行）向量正交性
酉矩陣的列（或行）向量構成一組標準正交基。

乘積封閉性
兩個酉矩陣的乘積仍是酉矩陣。

3. 重要定理

譜定理（Spectral Theorem）
任何正規矩陣（ $A^* A = A A^*$ ）可被酉對角化：

? ? ? ? ? ? ? ? ? $A = U \Lambda U^*$
其中 $\Lambda$ ?是對角矩陣， $U$ ?是酉矩陣。

QR 分解
任意矩陣 $A$ ?可分解為：

? ? ? ? ? ? ? ? $A = QR$
其中 $Q$ ?是酉矩陣， $R$ ?是上三角矩陣。

量子計算中的酉變換
量子門操作必須由酉矩陣表示，以保證概率守恒（即 $\|\psi\|^2 = 1$ ?始終成立）。

4. 計算示例

例1：驗證酉矩陣

驗證矩陣 $U$ ??是否為酉矩陣。

$U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}$

解：

計算共軛轉置 $U^*$ ?：

$U^* = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$

計算 $U^{^*} U$ ：

$U^* U = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-i) \cdot i & 1 \cdot i + (-i) \cdot 1 \\ -i \cdot 1 + 1 \cdot i & -i \cdot i + 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = I$

因此 $U$ ?是酉矩陣。

例2：酉矩陣的特征值

求矩陣 $U = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ ?的特征值。

解：

驗證 $U$ ?是實正交矩陣（實數酉矩陣）：

$U^T U = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = I$

特征方程為 $\det(U - \lambda I) = 0$ ：

$\det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i$

特征值為 $i$ ?和 $-i$ ，模均為 1，符合酉矩陣性質。

例3：量子計算中的酉矩陣

Hadamard 門是量子計算中的基本酉矩陣：

$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

驗證 $H^* H = I$ （留作練習）。

5. 應用方面

量子力學中，酉矩陣描述封閉量子系統的演化。

信號處理里，離散傅里葉變換（DFT）矩陣是酉矩陣。

數值線性代數里，用于穩定化算法（如 QR 迭代法求特征值）。

接下來先看隨機矩陣，再看隨機矩陣與酉矩陣的關系。

6.隨機矩陣（Stochastic Matrix）的定義

? ? 隨機矩陣（也稱為概率矩陣或馬爾可夫矩陣）是指滿足以下兩個條件的非負實矩陣 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ?：

? ? 行和為1（行隨機矩陣）：

? ? ? ? ? ?? $\sum_{j=1}^n P_{i,j} = 1 \quad \forall i \in \{1, \dots, n\}$

元素非負：

? ? ? ? ? ? $P_{i,j} \geq 0 \quad \forall i,j$

變體：

? ? ? ? 列隨機矩陣：列和為 1（即 $P^T$ ?是行隨機矩陣）。

? ? ? ? 雙隨機矩陣：行和與列和均為 1。

7. 酉矩陣的元素模平方矩陣是否為隨機矩陣

? ? 設 $U$ ?是一個酉矩陣（ $U^* U = I$ ），定義矩陣 $S$ ?為 $U$ ?的元素的模平方：

? ? ? ?? $S_{i,j} = |U_{i,j}|^2$

問題： $S$ ?是否一定是隨機矩陣

7.1. 行和的性質

? ? 由于 $U$ ?是酉矩陣，其列向量是標準正交的，因此：

? ? ? ? ? ?? $\sum_{i=1}^n |U_{i,j}|^2 = 1 \quad \forall j$

即 $S$ ?的列和為 1（而非行和）。因此：

? ?? $S$ ?的列和滿足隨機矩陣的條件，但行和不一定。

? ? 若 $U$ ?的行向量也是標準正交的（即 $U$ ?是雙酉矩陣，如置換矩陣或 DFT 矩陣），則 $S$ ?的行和也為 1，此時 $S$ ?是雙隨機矩陣。

7.2. 驗證

例子1：

考慮酉矩陣：

? ? ? ?? $U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

其模平方矩陣為：

? ? ? ?? $S = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

行和與列和均為 1，因此 $S$ ?是雙隨機矩陣。

例子2：

考慮非雙酉的酉矩陣：

? ? ? ?? $U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{bmatrix}$

其模平方矩陣為：

? ? ? ?? $S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

行和與列和均為 1，但這是特殊情況（對角酉矩陣）。

例子3：

一般酉矩陣的行和可能不為 1。例如：

? ? ? ?? $U = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}$

其模平方矩陣：

? ? ? ?? $S = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$

列和為 1，但行和也為 1（巧合）。更復雜的酉矩陣可能破壞行和條件。

7.3. 酉矩陣與隨機矩陣的關系

? ?? $S$ ?的列和恒為 1（因酉矩陣的列正交性），因此 $S^T$ ?是行隨機矩陣。

? ?? $S$ ?的行和不一定為 1，除非 $U$ ?的行向量也正交（即 $U$ ?是雙酉矩陣）。

? ? 若 $U$ ?是雙酉矩陣（如置換矩陣、DFT 矩陣），則 $S$ ?是雙隨機矩陣。

7.4. 進一步討論

量子力學中的概率解釋

? ? 在量子測量中， $|U_{i,j}|^2$ ? 表示從狀態 $j$ ?躍遷到狀態 $i$ ?的概率，因此 $S$ ?的列和必須為 1（概率守恒）。

雙隨機矩陣與 Birkhoff-von Neumann 定理

? ? ?雙隨機矩陣可分解為置換矩陣的凸組合，而酉矩陣的模平方矩陣若為雙隨機，則對應量子通道的“均勻混合”性質。

非雙酉矩陣的例外

? ? 若 $U$ ?的行向量不正交（如隨機生成的酉矩陣）， $S$ ?的行和可能不為 1，此時 $S$ ?僅是列隨機矩陣。

最終答案
不一定。酉矩陣 $U$ ?的模平方矩陣 $S = [|U_{i,j}|^2]$ ?總是列隨機矩陣（列和為 1），但僅當 $U$ ?的行向量也正交時（即雙酉矩陣）， $S$ ?才是（行）隨機矩陣。

典型雙酉矩陣（如 Hadamard 矩陣、DFT 矩陣）的 $S$ 是雙隨機矩陣。

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