Delta、Jackknife、Bootstrap

用班級平均身高的案例，展示 ?Delta、Jackknife、Bootstrap? 的完整計算過程。

?0.?數據準備?

?原始數據（4個學生的身高）??：

???????????????? $X = [160\,\text{cm},\ 170\,\text{cm},\ 175\,\text{cm},\ 185\,\text{cm}]$

真實均值（目標統計量）??：

???????????????? $\bar{X} = \frac{160 + 170 + 175 + 185}{4} = 172.5\,\text{cm}$

?1. Delta 方法（公式法）??

?目標?：計算均值的方差? $\text{Var}(\bar{X})$

?步驟 1：計算樣本方差 $S^2$

$S^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$ ??

具體計算：

$\begin{aligned} (160-172.5)^2 &= (-12.5)^2 = 156.25 \\ (170-172.5)^2 &= (-2.5)^2 = 6.25 \\ (175-172.5)^2 &= (2.5)^2 = 6.25 \\ (185-172.5)^2 &= (12.5)^2 = 156.25 \\ \end{aligned}$

$S^2 = \frac{156.25 + 6.25 + 6.25 + 156.25}{3} = \frac{325}{3} \approx 108.33$

步驟 2：計算均值的方差

? $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{S^2}{n} = \frac{108.33}{4} = 27.08$

?Delta 方法結果

$\boxed{\text{Var}(\bar{X}) = 27.08}$

?2. Jackknife 方法（刀切法）??

?目標?：通過每次去掉一個數據點，計算均值的波動。

?步驟 1：計算“去掉一個點”的均值?

去掉的數據點	剩余數據	計算均值 $\bar{X}_{-i}$
160cm	[170, 175, 185]	(170+175+185)/3 = 176.67
170cm	[160, 175, 185]	(160+175+185)/3 ≈ 173.33
175cm	[160, 170, 185]	(160+170+185)/3 ≈ 171.67
185cm	[160, 170, 175]	(160+170+175)/3 = 168.33

?步驟 2：計算“偽值”（Pseudo-values）??

偽值公式：

$\tilde{X}_i = n \bar{X} - (n-1) \bar{X}_{-i}$

計算：

$\begin{aligned} \tilde{X}_1 &= 4 \times 172.5 - 3 \times 176.67 = 690 - 530 = 160 \\ \tilde{X}_2 &= 4 \times 172.5 - 3 \times 173.33 = 690 - 520 = 170 \\ \tilde{X}_3 &= 4 \times 172.5 - 3 \times 171.67 = 690 - 515 = 175 \\ \tilde{X}_4 &= 4 \times 172.5 - 3 \times 168.33 = 690 - 505 = 185 \\ \end{aligned}$

注：因為均值是線性統計量，偽值會還原出原始數據。但對非線性統計量?（如中位數），偽值會體現每個數據點的影響。

?步驟 3：計算偽值的方差

? $\text{Var}(\tilde{X}) = \frac{\sum (\tilde{X}_i - \bar{X})^2}{n} = \frac{(160-172.5)^2 + \cdots + (185-172.5)^2}{4} = \frac{325}{4} = 81.25$

然后調整：

$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(\tilde{X})}{n} = \frac{81.25}{4} = 20.31$

??這里和 Delta 方法結果不同，原因是偽值計算方式對非線性統計量更準確，但對均值會略有偏差）

?Jackknife 方法結果

$\boxed{\text{Var}(\bar{X}) \approx 20.31}$

?3. Bootstrap 方法（自助法）??

?目標?：通過重復抽樣模擬均值分布，計算方差。

?步驟 1：從原始數據中有放回抽樣?

我們進行 ?5 次抽樣?（實際中需 1000+ 次，這里簡化演示）：

抽樣次數	抽到的數據（有放回）	計算均值 $\bar{X}^*$
1	[160, 170, 175, 185]	172.5
2	[170, 170, 175, 185]	(170+170+175+185)/4=175
3	[160, 175, 185, 185]	(160+175+185+185)/4=176.25
4	[160, 160, 170, 175]	(160+160+170+175)/4=166.25
5	[170, 175, 175, 185]	(170+175+175+185)/4=176.25

?步驟 2：計算這些均值的方差

? $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{(172.5-172.5)^2 + (175-172.5)^2 + (176.25-172.5)^2 + (166.25-172.5)^2 + (176.25-172.5)^2}{5}$

? $= \frac{0 + 6.25 + 14.06 + 39.06 + 14.06}{5} = \frac{73.43}{5} \approx 14.69$

?? 由于抽樣次數太少，結果不穩定，實際 1000+ 次會接近 27.08

?Bootstrap 方法結果（5次抽樣）

$\boxed{\text{Var}(\bar{X}) \approx 14.69}$

?4.?最終對比?

方法	計算方式	結果 $\text{Var}(\bar{X})$	備注
?Delta?	公式 $\frac{S^2}{n}$	27.08	最快，但依賴公式
?Jackknife?	偽值方差調整	20.31	適用于無公式統計量
?Bootstrap?	重復抽樣計算方差	≈27.08（需大樣本）	最穩健，但計算量大

?5.?關鍵結論?

?Delta 最快，但必須知道公式（如均值、回歸系數）。
?Jackknife 更通用，適合中位數等無公式統計量。
?Bootstrap 最穩健，但需要大量計算（通常抽 1000+ 次）。

6. 補充

如何理解“偽值”？

偽值 = 用“拆數據”的方式，模擬統計量對單個數據點的依賴程度。?

想象你是班主任，想知道班上每個學生對“平均分”的影響有多大。于是你：

?先計算全班平均分?（比如80分）；
?讓每個學生輪流請假，重新計算剩下學生的平均分；
?比較“請假前后”的差異，這個差異就是該學生的“偽值”。

?偽值的意義?

如果某個學生請假后，平均分從80掉到75，說明他對班級影響很大（偽值低）；
如果請假后平均分幾乎不變，說明他影響小（偽值接近均值）。

Jackknife方法中偽值的計算公式?

對統計量?T（如均值、中位數），偽值定義為：

?其中?：

n：總數據量；
T全量?：用全部數據計算的統計量（如均值）；
T去掉第i個點?：去掉第?i?個數據后重新計算的統計量。

偽值的核心作用?

?估計偏差?：通過偽值的均值可以修正統計量的偏差。
?計算方差?：用偽值的方差推斷原統計量的穩定性（如Jackknife方差公式）。

類比

?偽值? ≈ ??“數據點的貢獻值”??，就像公司評估員工績效：
- 全公司業績 = 100萬（T全量?）；
- 去掉員工A后業績 = 90萬（T?i?）；
- 員工A的偽值 =?n×100?(n?1)×90=10（他對業績的凈貢獻）。

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