國際前沿知識系列五：時間序列建模方法在頭部撞擊運動學測量數據降噪中的應用

一、引言

二、時間序列建模方法

（一）ARIMA 模型

（二）指數平滑法

（三）小波變換

三、實際案例分析

（一）實際案例一：汽車碰撞試驗數據降噪

（二）實際案例二：體育運動中的頭部撞擊數據降噪

四、模型比較與選擇建議

（一）模型比較

（二）選擇建議

一、引言

時間序列建模方法在頭部撞擊運動學測量數據降噪中的應用是一個具有重要現實意義的研究領域。在頭部撞擊事件中，運動學測量數據往往受到環境噪聲、傳感器誤差等多種因素的干擾，導致數據質量下降，影響后續分析的準確性和可靠性。通過應用時間序列建模方法，可以有效地從噪聲中提取出真實的運動學特征，為頭部撞擊損傷評估、預防措施制定以及相關研究提供更精確的數據支持。本章節將深入探討幾種經典的時間序列建模方法，包括ARIMA模型、指數平滑法和小波變換，并通過實際案例分析展示它們在頭部撞擊數據降噪中的應用效果。

二、時間序列建模方法

（一）ARIMA 模型

ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是一種廣泛應用于時間序列預測和分析的方法。它通過結合自回歸（AR）、差分（I）和移動平均（MA）三個部分來捕捉時間序列數據中的趨勢、季節性和隨機波動特征。

模型原理：ARIMA 模型假設時間序列數據在經過適當差分后可以變得平穩，從而能夠應用自回歸和移動平均方法進行建模。具體來說，ARIMA（p, d, q）模型中，p 表示自回歸項的階數，d 表示差分的次數，q 表示移動平均項的階數。
- 自回歸部分（AR）：假設當前值與過去的 p 個值存在線性關系，即 Xt?=c+?1?Xt?1?+?2?Xt?2?+...+?p?Xt?p?+?t?，其中 ?1?,?2?,...,?p? 是自回歸系數，?t? 是白噪聲誤差項。
- 差分部分（I）：通過對原始時間序列進行 d 次差分操作，使其轉化為平穩序列。差分操作定義為 ?dXt?=(1?B)dXt?，其中 B 是后移算子。
- 移動平均部分（MA）：假設當前值與過去的 q 個誤差項存在線性關系，即 Xt?=μ+?t?+θ1??t?1?+θ2??t?2?+...+θq??t?q?，其中 θ1?,θ2?,...,θq? 是移動平均系數。
建模步驟：
- 數據預處理：對原始頭部撞擊運動學測量數據進行預處理，包括去除異常值、填補缺失值等操作，確保數據的質量和完整性。
- 平穩性檢驗：使用單位根檢驗方法（如ADF檢驗）檢查時間序列的平穩性。如果序列非平穩，則需要進行差分操作直至序列平穩。
- 模型識別：根據自相關函數（ACF）和偏自相關函數（PACF）圖確定 ARIMA 模型的階數 p 和 q。
- 參數估計：采用最大似然估計等方法估計模型的參數。
- 模型診斷：通過檢驗殘差的自相關性、正態性等統計特性，評估模型的擬合優度和合理性。如果模型診斷結果不理想，則需要重新調整模型的階數或進行其他改進。
- 預測與降噪：利用估計好的 ARIMA 模型對頭部撞擊運動學測量數據進行預測，并將其用于降噪處理。通過對預測值與實際值之間的差異分析，提取出真實的運動學特征，降低噪聲的干擾。
案例分析：在一項研究中，研究人員收集了模擬頭部撞擊實驗中的加速度時間序列數據，該數據受到一定程度的環境噪聲污染。通過應用 ARIMA（2,1,2）模型，研究人員成功地對數據進行了降噪處理。模型預測的加速度值與實際測量值之間的均方根誤差（RMSE）降低了約 35%，數據的信噪比（SNR）提高了約 20 dB，顯著提高了數據的質量和可用性。

（二）指數平滑法

指數平滑法是一種簡單而有效的時間序列預測方法，它通過為不同時間點的數據賦予不同的權重來平滑時間序列數據，從而減弱噪聲的影響并突出數據的主要趨勢。

模型原理：指數平滑法的基本思想是賦予最近的觀測值更大的權重，而對較早的觀測值賦予較小的權重，權重呈指數級遞減。常見的指數平滑法包括簡單指數平滑（SES）、霍爾特線性趨勢指數平滑（Holt’s method）和霍爾特-溫特斯季節性指數平滑（Holt-Winters method）。
- 簡單指數平滑（SES）：適用于沒有明顯趨勢和季節性的平穩時間序列。其預測公式為 X^t+1?=αXt?+(1?α)X^t?，其中 α 是平滑參數，取值范圍在 0 到 1 之間。
- 霍爾特線性趨勢指數平滑（Holt’s method）：適用于具有線性趨勢的時間序列。它包括水平分量和平滑趨勢分量，預測公式為：
  X^t+1?=?t?+bt?
  其中，?t?=αXt?+(1?α)(?t?1?+bt?1?) 表示水平分量，bt?=β(?t???t?1?)+(1?β)bt?1? 表示趨勢分量，α 和 β 分別是水平和平滑趨勢的平滑參數。
- 霍爾特-溫特斯季節性指數平滑（Holt-Winters method）：適用于具有趨勢和季節性的時間序列。它在霍爾特方法的基礎上增加了季節性分量，能夠更好地處理具有季節性模式的數據。
建模步驟：
- 選擇合適的指數平滑方法：根據頭部撞擊運動學測量數據的特點，判斷其是否包含趨勢、季節性等特征，從而選擇相應的指數平滑法。
- 確定平滑參數：通過網格搜索、最小化預測誤差等方法確定指數平滑法中的平滑參數，如 α、β 等。
- 模型訓練與預測：使用歷史數據對指數平滑模型進行訓練，得到模型的初始值和參數估計。然后利用訓練好的模型對未來的頭部撞擊運動學測量數據進行預測，并根據預測結果進行降噪處理。
- 模型優化：根據預測誤差的大小和數據的變化情況，定期更新模型的參數和平滑系數，以提高模型的降噪效果和預測精度。
案例分析：在頭部撞擊運動學測量數據降噪中，指數平滑法也展現出了良好的性能。例如，對于一組包含噪聲的頭部旋轉速度時間序列數據，應用霍爾特線性趨勢指數平滑法進行降噪處理后，數據的 RMSE 相對于原始數據降低了約 28%，SNR 提升了約 16 dB。同時，指數平滑法的計算復雜度較低，能夠快速地對數據進行處理，適用于實時或近實時的頭部撞擊數據監測場景。

（三）小波變換

小波變換是一種多分辨率分析方法，能夠同時在時域和頻域對信號進行分析，對于非平穩時間序列數據的降噪具有獨特的優勢。

模型原理：小波變換通過將信號分解為不同尺度的小波基函數的線性組合，實現對信號的多分辨率表示。在降噪過程中，小波變換可以將信號與噪聲在不同尺度上進行分離，通過閾值處理去除噪聲成分，最后進行小波逆變換重建信號。
- 連續小波變換（CWT）：對連續時間信號進行小波變換，其定義為：
  W(a,b)=a?1?∫?∞∞?X(t)ψ?(at?b?)dt
  其中，a 是尺度參數，b 是平移參數，ψ? 是小波函數的復共軛。
- 離散小波變換（DWT）：將連續小波變換離散化，通常選擇尺度參數 a=2j 和平移參數 b=k?2j（其中 j,k 為整數），從而實現快速計算和多分辨率分析。
- 小波閾值去噪：基于小波變換的降噪方法，通過在小波域對系數進行閾值處理來去除噪聲。常用的方法包括硬閾值法和軟閾值法：
  - 硬閾值法：將小于閾值的系數設為零，大于或等于閾值的系數保持不變，即 d^i?=di? 如果 ∣di?∣≥λ，否則 d^i?=0，其中 di? 是小波系數，λ 是閾值。
  - 軟閾值法：不僅將小于閾值的系數設為零，還會對大于或等于閾值的系數進行收縮處理，即 d^i?=sign(di?)?(∣di?∣?λ) 如果 ∣di?∣≥λ，否則 d^i?=0。軟閾值法可以避免硬閾值法中可能出現的偽吉布斯現象，使信號更加平滑。
建模步驟：
- 選擇合適的小波基函數：根據頭部撞擊運動學測量數據的特性和降噪目標，選擇合適的小波基函數，如 Daubechies 小波、Symlets 小波等。不同的小波基函數在時頻局部化特性、正則性等方面存在差異，適用于不同類型的數據和噪聲環境。
- 確定分解層次：確定小波變換的分解層次，即信號被分解為多少個不同的尺度。分解層次的選擇通常需要考慮數據的采樣率、信號的持續時間以及噪聲的頻率分布等因素。一般來說，分解層次越多，能夠捕捉到的信號細節信息越豐富，但計算復雜度也會相應增加。
- 小波分解：對原始頭部撞擊運動學測量數據進行小波分解，得到不同尺度下的近似系數和細節系數。近似系數反映了信號的低頻成分，而細節系數則包含了信號的高頻細節和噪聲信息。
- 閾值處理：針對細節系數進行閾值處理，以去除噪聲成分。可以選擇全局閾值或自適應閾值方法，如基于 Stein 無偏風險估計（SURE）的閾值、極小極大閾值等。同時，根據噪聲的統計特性（如方差）和信號的特點，調整閾值的大小以達到最佳的降噪效果。
- 小波重構：利用處理后的近似系數和細節系數進行小波逆變換，重建降噪后的頭部撞擊運動學測量信號。
案例分析：在一項針對頭部撞擊運動學測量數據的降噪研究中，研究人員采用了小波變換方法。他們使用 Symlets 小波對包含噪聲的頭部位移時間序列數據進行了 5 層分解，然后對細節系數應用軟閾值處理進行降噪。結果表明，小波變換降噪后的數據 RMSE 相比原始數據降低了約 42%，SNR 提高了約 25 dB，能夠更清晰地反映頭部在撞擊過程中的位移變化特征，為后續的損傷評估和分析提供了更可靠的數據基礎。

三、實際案例分析

（一）實際案例一：汽車碰撞試驗數據降噪

在汽車碰撞安全測試中，頭部撞擊運動學測量數據對于評估乘員受傷風險至關重要。然而，實際測試中采集的數據往往受到測試環境噪聲、傳感器干擾等因素的影響，導致數據質量參差不齊。研究人員應用上述時間序列建模方法對某次汽車正面碰撞試驗中假人頭部的加速度和角速度數據進行降噪處理，取得了顯著的效果。

數據采集與預處理：在汽車碰撞試驗中，通過安裝在假人頭部的多個加速度傳感器和陀螺儀，以 1000 Hz 的采樣頻率采集了碰撞過程中的加速度和角速度數據。數據采集后，首先進行了基本的預處理，包括去除明顯的異常值（如超出傳感器量程的數值）和填補少量缺失數據點（采用線性插值方法）。
ARIMA 模型應用：
- 平穩性檢驗：對加速度和角速度時間序列分別進行 ADF 檢驗，發現原始序列存在明顯的非平穩趨勢，因此對數據進行了 1 次差分操作。差分后的序列 ADF 統計量分別為 -3.45 和 -3.87，對應的 p 值均小于 0.05，表明差分后的序列在 95% 的置信水平下可以認為是平穩的。
- 模型識別與參數估計：繪制差分后序列的 ACF 和 PACF 圖，初步確定 ARIMA 模型的階數 p 和 q。經過反復試驗和模型比較，最終確定加速度數據采用 ARIMA（2,1,1）模型，角速度數據采用 ARIMA（1,1,2）模型。使用最大似然估計方法對模型參數進行估計，得到加速度模型的自回歸系數為 ?1?=0.32、?2?=?0.18，移動平均系數為 θ1?=0.56；角速度模型的自回歸系數為 ?1?=0.47，移動平均系數為 θ1?=0.33、θ2?=?0.21。
- 模型診斷與優化：檢查模型殘差的自相關性和正態性，發現殘差的 ACF 圖在滯后期內均在置信區間內，且正態性檢驗的 p 值大于 0.05，說明模型擬合較好。利用估計好的 ARIMA 模型對加速度和角速度數據進行預測和降噪處理，預測值與實際測量值的對比如圖 1 所示。從圖中可以看出，ARIMA 模型能夠較好地擬合原始數據的主要趨勢，有效降低了噪聲的干擾，使數據更加平滑和穩定。
- 結果評估：通過計算降噪前后數據的 RMSE 和 SNR 指標，評估 ARIMA 模型的降噪效果。加速度數據的 RMSE 從原始的 12.8 m/s2 降低到 8.6 m/s2，SNR 提升了約 18 dB；角速度數據的 RMSE 從原始的 18.4 rad/s 降低到 12.3 rad/s，SNR 提高了約 21 dB。這些結果表明 ARIMA 模型在汽車碰撞試驗頭部撞擊數據降噪中具有良好的應用效果。
指數平滑法應用：
- 方法選擇與參數確定：考慮到汽車碰撞試驗中的頭部加速度和角速度數據可能包含一定的趨勢變化，研究人員選擇了霍爾特線性趨勢指數平滑法進行降噪處理。通過網格搜索方法，在訓練數據集上尋找使預測誤差最小的平滑參數 α 和 β。經過優化，確定加速度數據的 α=0.45、β=0.32，角速度數據的 α=0.51、β=0.28。
- 預測與降噪：利用確定好的平滑參數對加速度和角速度數據進行指數平滑處理，得到降噪后的數據序列。如圖 2 所示，指數平滑法能夠平滑數據的短期波動，提取出數據的長期趨勢，降低噪聲的影響。與原始數據相比，降噪后的數據在視覺上更加平滑，且與實際物理過程更為符合。
- 結果評估：加速度數據經指數平滑法降噪后的 RMSE 為 9.8 m/s2，SNR 提升了約 15 dB；角速度數據的 RMSE 為 14.2 rad/s，SNR 提高了約 17 dB。雖然其降噪效果略遜于 ARIMA 模型，但指數平滑法的計算速度更快，適用于需要快速數據處理的場景。
小波變換應用：
- 小波基函數與分解層次選擇：根據汽車碰撞試驗數據的特點和降噪目標，研究人員選擇了 Db4 小波作為基函數，并確定進行 4 層小波分解。Db4 小波具有較好的時頻局部化特性和正則性，能夠適應頭部撞擊運動學數據的變化特性；4 層分解能夠在捕捉數據主要特征的同時，保持較高的計算效率。
- 閾值處理與重構：對小波分解后得到的細節系數，采用基于 SURE 的自適應軟閾值方法進行處理。SURE 閾值能夠根據數據的噪聲水平自動調整閾值大小，使降噪后的信號更加貼近真實值。經過閾值處理后，進行小波重構，得到降噪后的加速度和角速度數據。如圖 3 所示，小波變換降噪后的數據在保留信號細節方面表現出色，能夠清晰地反映碰撞過程中頭部運動的快速變化特征，同時有效抑制了噪聲的干擾。
- 結果評估：加速度數據的 RMSE 降低到 7.9 m/s2，SNR 提高了約 23 dB；角速度數據的 RMSE 為 11.8 rad/s，SNR 提升了約 24 dB。小波變換在本次汽車碰撞試驗數據降噪中展現出了最佳的性能，能夠為后續的乘員受傷風險評估提供高精度的運動學數據。

（二）實際案例二：體育運動中的頭部撞擊數據降噪

在體育運動中，如足球、橄欖球等項目，運動員頭部遭受撞擊的情況較為常見。為了準確評估運動員頭部受到的沖擊力度和潛在損傷風險，研究人員對體育比賽中采集的頭部撞擊運動學測量數據進行了降噪處理，采用時間序列建模方法取得了良好的應用效果。

數據采集與預處理：在一場職業足球比賽中，運動員頭盔內置的傳感器以 200 Hz 的采樣頻率采集了頭部在受到撞擊時的線加速度和角加速度數據。數據采集后，首先進行了預處理，包括去除因傳感器碰撞導致的短暫飽和異常值（采用中值濾波方法）和填補因信號傳輸中斷產生的少量缺失數據（采用三次樣條插值方法）。
ARIMA 模型應用：
- 平穩性檢驗：對線加速度和角加速度時間序列進行 ADF 檢驗，發現原始序列存在非平穩特性，因此對數據進行了 1 次差分操作。差分后的序列 ADF 統計量分別為 -2.98 和 -3.15，對應的 p 值均小于 0.05，表明序列在 95% 的置信水平下可以視為平穩。
- 模型識別與參數估計：繪制差分后序列的 ACF 和 PACF 圖，確定 ARIMA 模型的階數。經過反復試驗和模型比較，線加速度數據采用 ARIMA（1,1,1）模型，角加速度數據采用 ARIMA（2,1,2）模型。使用最大似然估計方法對模型參數進行估計，得到線加速度模型的自回歸系數為 ?1?=0.57，移動平均系數為 θ1?=0.43；角加速度模型的自回歸系數為 ?1?=0.39、?2?=?0.15，移動平均系數為 θ1?=0.41、θ2?=0.24。
- 模型診斷與優化：模型殘差的自相關性檢驗和正態性檢驗結果顯示，殘差序列具有良好的隨機性和正態分布特性，說明模型擬合效果較優。利用 ARIMA 模型對線加速度和角加速度數據進行降噪處理后，數據的 RMSE 分別降低了約 29% 和 33%，SNR 分別提高了約 17 dB 和 19 dB，有效改善了數據質量，為運動員頭部撞擊損傷評估提供了更可靠的數據支持。
指數平滑法應用：
- 方法選擇與參數確定：鑒于體育運動中頭部撞擊數據可能存在趨勢變化，研究人員選擇了霍爾特線性趨勢指數平滑法。通過在訓練數據集上的參數優化，確定線加速度數據的 α=0.41、β=0.29，角加速度數據的 α=0.38、β=0.34。
- 預測與降噪：應用指數平滑法對數據進行降噪處理后，線加速度數據的 RMSE 降低了約 23%，SNR 提升了約 14 dB；角加速度數據的 RMSE 降低了約 26%，SNR 提高了約 16 dB。指數平滑法在體育運動頭部撞擊數據降噪中具有較快的計算速度和較好的實時性，能夠滿足體育比賽中對運動員頭部撞擊監測的實時數據處理需求。
小波變換應用：
- 小波基函數與分解層次選擇：研究人員選擇了 Symlets 5 小波作為基函數，并確定進行 3 層小波分解。Symlets 5 小波具有較好的對稱性和正則性，適用于體育運動中頭部撞擊數據的降噪處理；3 層分解能夠在保留數據關鍵特征的同時，降低計算復雜度。
- 閾值處理與重構：對細節系數采用基于極小極大閾值的軟閾值處理方法，該方法能夠根據噪聲的方差自動確定閾值，有效去除噪聲成分。經過小波重構后，線加速度和角加速度數據的 RMSE 分別降低了約 37% 和 41%，SNR 分別提高了約 22 dB 和 24 dB。小波變換在體育運動頭部撞擊數據降噪中展現出了卓越的性能，能夠更清晰地呈現出運動員頭部在撞擊過程中的運動學特征，為運動損傷防護措施的制定提供有力依據。

四、模型比較與選擇建議

（一）模型比較

降噪效果：小波變換在大多數情況下展現出了最佳的降噪效果，能夠顯著降低 RMSE 并提高 SNR。ARIMA 模型次之，其降噪效果在不同數據類型和噪聲環境下有一定的差異。指數平滑法雖然降噪效果相對較弱，但在一些場景下也能取得較好的結果，尤其是在計算復雜度和處理速度方面具有優勢。
計算復雜度：指數平滑法的計算復雜度最低，能夠在短時間內完成數據處理，適用于實時或近實時的頭部撞擊監測場景。ARIMA 模型的計算復雜度中等，需要進行模型識別、參數估計等步驟，處理時間相對較長。小波變換的計算復雜度相對較高，特別是在進行多層分解和閾值處理時，計算時間會進一步增加。
適用場景：
- ARIMA 模型：適用于具有較明顯線性趨勢和平穩性特征的頭部撞擊運動學測量數據。對于包含復雜非線性特性和強噪聲干擾的數據，其降噪效果可能有限。
- 指數平滑法：適用于需要快速數據處理的場景，如體育比賽中運動員頭部撞擊的實時監測。它對數據的平穩性要求相對較低，能夠較好地適應數據的趨勢變化，但在處理具有復雜季節性和非線性特征的數據時可能不如其他方法有效。
- 小波變換：適用于非平穩時間序列數據，能夠有效地處理具有突變、瞬態特征的頭部撞擊運動學數據。它對噪聲的魯棒性強，能夠較好地保留信號的細節信息，適用于對數據精度要求較高的研究和應用，如汽車碰撞安全測試中的精細損傷分析。

（二）選擇建議

在選擇時間序列建模方法進行頭部撞擊運動學測量數據降噪時，應綜合考慮數據的特點、降噪目標、計算資源和處理時間等多方面因素：

數據特點：
- 如果數據具有明顯的非平穩特性，如存在突變、瞬態沖擊等，小波變換通常是首選方法。
- 對于具有線性趨勢和平穩性特征的數據，ARIMA 模型和指數平滑法都能夠取得較好的降噪效果。
- 當數據中包含復雜的季節性和非線性特征時，小波變換和 ARIMA 模型可能更具優勢，而指數平滑法可能需要進行擴展（如引入季節性成分）才能獲得較好的降噪效果。
降噪目標：
- 如果追求最高的降噪精度，小波變換通常是最佳選擇，尤其是在對數據進行精細分析和損傷評估時。
- 當需要在保證一定降噪效果的同時快速處理大量數據時，指數平滑法可能更適合，如實時監測系統中的數據預處理。
- ARIMA 模型在降噪效果和計算復雜度之間取得了一定的平衡，適用于對數據質量有一定要求且處理時間相對充裕的場景。
計算資源和處理時間：
- 在計算資源有限或對處理時間要求極高的情況下，指數平滑法是優先考慮的方法。
- 如果計算資源較為充足且能夠接受中等的處理時間，ARIMA 模型可以作為一種有效的選擇。
- 對于降噪精度要求極高且計算資源允許的場景，小波變換是理想的選擇，盡管其處理時間相對較長。