目錄
一、關系代數
基本運算
笛卡爾積（×）
投影（π）
選擇（σ）
自然連接（?）
真題示例：
二、函數依賴
基本概念
Armstrong公理系統
鍵與約束
三、范式（Normalization）
第一范式（1NF）
第二范式（2NF）
第三范式（3NF）
BC范式（BCNF）
真題示例：
一、關系代數
-
基本運算
- 并（∪）：合并兩張表的所有記錄，重復記錄僅顯示一次。
- 示例：
S1 ∪ S2?結果包含?S1?和?S2?的所有不重復記錄。
- 示例：
- 交（∩）：返回兩張表中相同的記錄。
- 示例：
S1 ∩ S2?結果為?Sno='No0001', Sname='Mary', Sdept='IS'。
- 示例：
- 差（-）：返回第一張表有而第二張表沒有的記錄。
- 示例：
S1 - S2?結果為?Sno='No0003'?和?No0004?的記錄。
- 示例：
- 并（∪）：合并兩張表的所有記錄，重復記錄僅顯示一次。
-
笛卡爾積（×）
- 結果包含兩表所有屬性列，記錄數為兩表記錄數的乘積。
- 示例：
S1 × S2?的每條記錄是?S1?和?S2?記錄的排列組合。
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投影（π）
- 選擇某表的特定列（可用列名或列序號表示）。
- 示例：
π(Sname)(S1)?返回?S1?的所有學生姓名。
-
選擇（σ）
- 按條件篩選表中的記錄。
- 示例：
σ(Sdept='IS')(S1)?返回?Sdept?為?IS?的記錄。
-
自然連接（?）
- 合并兩表中屬性相同且值相同的記錄，相同屬性列僅顯示一次。
真題示例：
給定關系R(A, B, C, D)和關系S(C, D, E)，對其進行自然連接運算R?S后的屬性列為（ ）個；與σR.B>S.E(R?S)等價的關系代數表達式為（ ）。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A. σ?>?(R×S) B. π?,?,?,?,?(σ'?' > '?' ∧?=?∧?=?(R×S))
C. σ'?' > '?'(R×S) D. π?,?,?,?,?(σ?>?∧?=?∧?=?(R×S))
1. 計算自然連接運算 R?S? 后的屬性列個數
自然連接是一種特殊的等值連接，它要求兩個關系中進行比較的分量必須是相同的屬性組，并且在結果中把重復的屬性列去掉。 關系 R(A,B,C,D)? 有 4? 個屬性，關系 S(C,D,E)? 有 3? 個屬性，其中 C? 和 D? 是公共屬性。 進行自然連接時，重復的公共屬性 C? 和 D? 只保留一次，所以 R?S? 后的屬性列為 A?、B?、C?、D?、E?，共 5? 個。?
2. 找出與 σR.B>S.E?(R?S)? 等價的關系代數表達式
?σR.B>S.E?(R?S)? 表示先對 R? 和 S? 進行自然連接，然后從連接結果中選擇滿足 R? 中的屬性 B? 大于 S? 中的屬性 E? 的元組。 在進行關系代數運算時，一般先將自然連接轉換為笛卡爾積和選擇、投影運算。
- 首先將 R?S? 轉換為笛卡爾積 R×S? 并添加等值連接條件，即 σR.C=S.C∧R.D=S.D?(R×S)? 。
- 然后要從結果中選擇滿足 R.B>S.E? 的元組，完整的選擇條件就是 σR.B>S.E∧R.C=S.C∧R.D=S.D?(R×S)? 。
- 用屬性的序號表示，R×S? 后的屬性順序為 R.A?（第 1? 列）、R.B?（第 2? 列）、R.C?（第 3? 列）、R.D?（第 4? 列）、S.C?（第 5? 列）、S.D?（第 6? 列）、S.E?（第 7? 列），那么選擇條件可寫為 σ2>7∧3=5∧4=6?(R×S)? 。
- 最后，由于最終結果不需要重復的 C? 和 D? 列（在自然連接中重復列已被去掉），所以需要對結果進行投影，保留 A?、B?、C?、D?、E? 對應的列，即 π1,2,3,4,7?(σ2>7∧3=5∧4=6?(R×S))? 。
二、函數依賴
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基本概念
- 函數依賴：若屬性?
X?能唯一確定?Y，則稱?Y?依賴于?X（記作?X→Y）。 - 部分函數依賴：若?
(A,B)→C，但?A→C?也成立，則?C?部分依賴于?(A,B)。 - 傳遞函數依賴：若?
A→B、B→C?且?A?與?B?不等價，則?A→C?是傳遞依賴。 
- 函數依賴：若屬性?
-
Armstrong公理系統
函數依賴的公理系統(Armstrong) 設關系模式R<U，F>，U是關系模式R的屬性全集，F是關系模式R的一個函數依賴集。對于R<U，F>來說有以下的：
-
自反律（Reflexivity）
- 若屬性集Y是屬性集X的子集（Y?X），則必然存在函數依賴X→Y。
- 示例：若X={A,B,C}，Y={A,B}，則X→Y自動成立。
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增廣律（Augmentation）
- 若存在X→Y，則對任意屬性集Z，有XZ→YZ。
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傳遞律（Transitivity）
- 若X→Y且Y→Z，則必然有X→Z。
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合并規則（Union）
- 若X→Y且X→Z，則可合并為X→YZ。
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偽傳遞規則（Pseudo-transitivity）
- 若X→Y且WY→Z，則XW→Z。
- 示例：若學號→姓名，(姓名,課程)→成績，則(學號,課程)→成績。
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分解規則（Decomposition）
- 若X→Y且Z?Y，則X→Z。
- 示例：若A→{B,C}，則A→B和A→C均成立。
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鍵與約束
- 超鍵：能唯一標識此表的屬性的組合。
- 候選鍵：超鍵中去掉冗余的屬性，剩余的屬性就是候選鍵。
- 主鍵：任選一個候選鍵，即可作為主鍵。
- 外鍵：其他表中的主鍵。
- 主屬性：候選鍵內的屬性為主屬性，其他屬性為非主屬性。
- 實體完整性約束：即主鍵約束，主鍵值不能為空，也不能重復。
- 參照完整性約束：即外鍵約束，外鍵必須是其他表中已經存在的主鍵的值，或者為空。
- 用戶自定義完整性約束：自定義表達式約束，如設定年齡屬性的值必須在0到150之間。
三、范式（Normalization）
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第一范式（1NF）
- 表中每個字段不可再分（無嵌套表）。
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原始表（不符合1NF）：
員工ID 員工姓名 薪資/月 001 張三 基本工資:5000, 補貼:1000 002 李四 基本工資:6000, 補貼:800 1NF規范化后：
員工ID 員工姓名 基本工資 補貼 001 張三 5000 1000 002 李四 6000 800
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第二范式（2NF）
- 滿足1NF，且非主屬性完全依賴于候選鍵（消除部分依賴：每一個非主屬性不會依賴復合主鍵中的某一個列）。
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原始表（不符合2NF）：
學號 課程號 課程名稱 成績 教師 S001 C001 數學 90 王老師 S001 C002 英語 85 李老師 問題：課程名稱和教師僅依賴于課程號（部分依賴復合主鍵 (學號, 課程號)）。
2NF規范化后：
選課表（完全依賴）：學號 課程號 成績 S001 C001 90 S001 C002 85 課程表（消除部分依賴）：
課程號 課程名稱 教師 C001 數學 王老師 C002 英語 李老師
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第三范式（3NF）
- 滿足2NF，且非主屬性不傳遞依賴于候選鍵。
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原始表（不符合3NF）：
學號 姓名 系編號 系主任 S001 張三 D01 劉主任 S002 李四 D02 陳主任 問題：系主任傳遞依賴于學號（學號 → 系編號 → 系主任）。
3NF規范化后：
學生表：學號 姓名 系編號 S001 張三 D01 S002 李四 D02 系表（消除傳遞依賴）：
系編號 系主任 D01 劉主任 D02 陳主任
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BC范式（BCNF）
- 滿足3NF，且所有依賴的左側必須包含候選鍵。
- BC范式要求在滿足第三范式的條件下，進一步消除主屬性對于碼的部分函數依賴和傳遞依賴。簡單通俗地講，對于關系模式中的任意一個函數依賴X→Y（X是決定因素，Y是被決定因素），X必須是候選鍵或者包含候選鍵。也就是說，每一個函數依賴的左邊決定因素都必然包含候選鍵，只有滿足這樣的條件，關系模式才符合BCNF。
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在給定的例子中有一個涉及S、T、J三個屬性的關系模式，通過分析其依賴關系和候選鍵來判斷是否符合BCNF：
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- 候選鍵與依賴集：該關系模式的候選鍵有兩種情況，分別是組合鍵(S, T)和(S, J)，依賴集為{SJ→T，T→J} 。由于S、T、J這三個屬性都能通過候選鍵組合確定，所以它們都是主屬性，因此該關系模式達到了3NF（因為不存在非主屬性，也就不存在非主屬性對碼的部分依賴和傳遞依賴）。
- BCNF判斷：當以(S, J)作為候選鍵時，看依賴T→J，其中T在(S, J)這種候選鍵情況下并不是候選鍵，即T→J這個函數依賴的決定因素T不包含任意候選碼，所以這個關系模式不符合BCNF的要求。
- 轉換為BCNF：為了使該關系模式滿足BCNF，將依賴T→J修改為TS→J 。這樣修改后，在新的依賴TS→J中，左邊的決定因素TS包含了候選鍵之一S，滿足了BCNF中每一個依賴的左邊決定因素都包含候選鍵的條件，此時該關系模式就達到了BCNF。
-
-
原始表（不符合BCNF）：
學生ID 課程 教師 S001 數學 王老師 S002 英語 李老師 假設依賴：
教師 → 課程（每個教師只教一門課，但教師不是候選鍵）。
問題：存在非平凡依賴（教師 → 課程），左側不是候選鍵。BCNF規范化后：
學生-教師表（候選鍵為 (學生ID, 教師)）：
學生ID 教師 S001 王老師 S002 李老師 教師-課程表（教師為候選鍵）：
教師 課程 王老師 數學 李老師 英語
真題示例：
給定關系模式R(U,F)，U={A,B,C,D}，F={AB→C,CD→B}。關系R（ ），且分別有（ ）。
A.只有1個候選關鍵字ACB B.只有1個候選關鍵字BCD
C.有2個候選關鍵字ACD和ABD D.有2個候選關鍵字ACB和BCD
A.0個非主屬性和4個主屬性 B.1個非主屬性和3個主屬性
C.2個非主屬性和2個主屬性 D.3個非主屬性和1個主屬性
候選關鍵字的求法
根據函數依賴集 F = {AB→C, CD→B}，我們可以按照以下步驟求候選關鍵字：
-
找出從未在右邊出現過的屬性：
- 在 F 中，右邊出現的屬性是 C 和 B
- 因此，A 和 D 從未在右邊出現過，它們必然是候選鍵的一部分
-
以 A 和 D 為基礎，嘗試構建候選關鍵字：
- 嘗試 AD：
- AD? = AD
- 無法推導出 B 或 C（因為 AB→C 和 CD→B 都需要額外的屬性）
- 所以 AD 不是候選關鍵字
- 嘗試 ABD：
- ABD? = ABD → C (AB→C) → ABCD
- 可以推導出所有屬性，因此 ABD 是候選關鍵字
- 嘗試 ACD：
- ACD? = ACD → B (CD→B) → ABCD
- 可以推導出所有屬性，因此 ACD 是候選關鍵字
- 其他組合（如 AB、AC、AD、BC、BD、CD）：這些組合的閉包都無法推導出所有屬性，因此不是候選關鍵字
- 嘗試 AD：
-
結論：
- 候選關鍵字有 2 個：ABD 和 ACD
主屬性和非主屬性
-
主屬性：出現在任何候選關鍵字中的屬性
- ABD 包含 A、B、D
- ACD 包含 A、C、D
- 因此主屬性是 A、B、C、D（所有屬性都是主屬性）
-
非主屬性：不包含在任何候選關鍵字中的屬性
- 由于所有屬性都是主屬性，非主屬性數量為 0
設有關系模式R（E，N，M，L，Q），其函數依賴集為F={E→N,EM→Q,M→L}。則關系模式R達到了______；該關系模式_________。
A. 1NF B. 2NF C. 3NF D. BCNF
A. 無需進行分解，因為已經達到了3NF
B. 無需進行分解，因為已經達到了BCNF
C. 盡管不存在部分函數依賴，但還存在傳遞依賴，所以需要進行分解
D. 需要進行分解，因為存在冗余、修改操作的不一致性、插入和刪除異常
第一步：識別所有屬性
屬性集 U = {E, N, M, L, Q}
第二步：分析函數依賴集 F
F = {?E → N,?EM → Q,?M → L?}
第三步：找出從未出現在右邊的屬性（候選鍵的必須屬性）
-
在 F 中，右邊出現的屬性：N, Q, L
-
從未出現在右邊的屬性：E, M
-
因此，E 和 M 必須包含在候選鍵中
第四步：以 E 和 M 為基礎構建候選鍵
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嘗試 EM：
-
計算 EM?：
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初始：EM
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應用 E→N：EMN
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應用 EM→Q：EMNQ
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應用 M→L：EMNQL
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EM? = EMNQL = U（覆蓋所有屬性）
-
因此，EM 是候選鍵
-
范式分析（基于候選鍵 EM）
1. 主屬性和非主屬性
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主屬性：E, M（出現在候選鍵中）
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非主屬性：N, L, Q
2. 檢查 2NF（消除部分函數依賴）
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檢查非主屬性對候選鍵的部分依賴：
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E→N：N 依賴于候選鍵的一部分（E），屬于部分函數依賴 → 違反 2NF
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M→L：L 依賴于候選鍵的一部分（M），屬于部分函數依賴 → 違反 2NF
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EM→Q：Q 完全依賴于整個候選鍵 → 符合 2NF
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結論：不滿足 2NF
是否需要分解
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存在部分函數依賴和傳遞依賴，會導致：
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數據冗余（如 E→N 導致 N 重復存儲）
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更新異常（修改 E 對應的 N 需要修改多條記錄）
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插入異常（無法單獨插入 M→L 的信息）
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刪除異常（刪除 EM 會丟失 M→L 的信息）
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需要進行分解，因為存在冗余、修改操作的不一致性、插入和刪除異常
分解方法
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將部分依賴單獨分解：
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R1(E, N)：滿足 E→N
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R2(M, L)：滿足 M→L
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R3(E, M, Q)：滿足 EM→Q
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每個關系模式都滿足 BCNF
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