補碼引入

舉一個生活化的例子
假設由一個掛鐘，它只能順時鐘調時間，那么它調時間就分成了一下兩種情況

1. 正好順時針調就能調好 如：時針從5調到9
2. 需要逆時針調才能調好 如：時針從10調到7

在上面的情況中1是不用處理的，2我們可以下意識的想到順時針轉過12后再轉到7.
誒，這就是計算機補碼的思想，我們再用更詳細的過程推到一下。

上面的10逆時針調到7記為 10 - 3 = 7
那么10順時針調到7就是 10 + 2 = 12 再加 7 也就是加了9
原來10 - 3 在 表盤里與 10 + 9 是相等的，為什么？
這就要引入模運算了
取模就是取余數運算符為mod，如5 mod 2 = 1,也就是5 / 2 余 1
我們就可以發現
(10 - 3) mod 12 = 7 mod 12 = 7
(10 + 9) mod 12 = 19 mod 12 = 7
原來是 7 和 19 除以 12 的余數是相同的才有這樣的結果
那么這個 9 也就是 -3 在這種情況下的補碼
那么這個9是怎么的出來的呢？
$$\begin{gathered} (10?3)mod12 \\ =[(10mod12)?(3mod12)]mod12 \\ =[(10mod12)+(12mod12)?(3mod12)]mod12 \\ =(10+12?3)mod12 \end{gathered}$$

原來是用12 - 3算出來的9

我們講表盤中的數字列舉出來
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
在將12換成0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
這個12 就是這一串數字所能表達的最大數加一

那么補碼 = 能表示的最大數加一 - 減數

補碼

讓我們根據上面的例子，將計算變成二進制的形式
假設有8為二進制數
能表示最大的數就是11111111
加一后就是100000000
如果要求出 -1010 的補碼 絕對值就是00001010（因為上面是減去的3而不是-3）
就用100000000 - 00001010 = 11110110
所以 11110110 就是 -1010 的補碼
驗算：用10000 - 1010
00010000 - 00001010 = 00000110
00010000 + 11110110 = 100000110 = 00000110

總結更一般的公式

$$[?x{]}_{補}=2^n?x$$

我們會發現用
11111111 - 00001010 = 11110101
正好是00001010的取反
而
$$11111111=2^n?1$$
所以
$$(2^n?1)?x+1=2^n?1$$

所以補碼還可以這樣算
$$[?x{]}_{補}=[x{]}_{反}+1$$

如：
$$\begin{gathered} [?1010{]}_{補}=[00001010{]}_{反}+1 \\ 11110101+1=11110110 \end{gathered}$$