線性代數(1)用 excel 計算雞兔同籠

線性代數+excel計算雞兔同籠

  • 案例:雞兔同籠問題的三種解法(遞進式教學)
    • 一、問題描述
    • 二、方程式解法(基礎版)
      • 步驟解析
    • 三、線性代數解法(進階版)
      • 1. 方程組轉化為矩陣形式
      • 2. 矩陣求解(逆矩陣法)
    • 四、Excel計算法
      • 操作步驟

案例:雞兔同籠問題的三種解法(遞進式教學)


一、問題描述

已知雞和兔關在同一個籠子里,共有 35個頭94只腳。求雞和兔各有多少只?


二、方程式解法(基礎版)

符合認知規律:從最直觀的數學語言入手,培養問題拆解能力。

步驟解析

  1. 定義變量

    • 設雞的數量為 x x x,兔的數量為 y y y
  2. 列方程組
    { x + y = 35 2 x + 4 y = 94 \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} {x+y=352x+4y=94?

  3. 解方程(代入法)

    • x + y = 35 x + y = 35 x+y=35 x = 35 ? y x = 35 - y x=35?y
    • 代入 2 x + 4 y = 94 2x + 4y = 94 2x+4y=94
      2 ( 35 ? y ) + 4 y = 94 2(35 - y) + 4y = 94 2(35?y)+4y=94
    • 化簡:
      70 + 2 y = 94 ? y = 12 70 + 2y = 94 \quad \Rightarrow \quad y = 12 70+2y=94?y=12
    • 回代得 x = 35 ? 12 = 23 x = 35 - 12 = 23 x=35?12=23

答案:雞 23 只,兔 12 只。


三、線性代數解法(進階版)

意義:將實際問題抽象為矩陣運算,為多維問題提供通用解法。

1. 方程組轉化為矩陣形式

原方程組:
{ x + y = 35 2 x + 4 y = 94 \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} {x+y=352x+4y=94?

等價于矩陣方程:
A x = b ,其中 A = [ 1 1 2 4 ] , x = [ x y ] , b = [ 35 94 ] . A\mathbf{x} = \mathbf{b} \quad \text{,其中} \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \end{bmatrix}. Ax=b,其中A=[12?14?],x=[xy?],b=[3594?].

2. 矩陣求解(逆矩陣法)

解為:
x = A ? 1 b \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} x=A?1b

計算步驟

  1. 求系數矩陣 A A A 的行列式
    det ? ( A ) = ( 1 ) ( 4 ) ? ( 1 ) ( 2 ) = 2 \det(A) = (1)(4) - (1)(2) = 2 det(A)=(1)(4)?(1)(2)=2

  2. 求逆矩陣 A ? 1 A^{-1} A?1
    A ? 1 = 1 det ? ( A ) [ 4 ? 1 ? 2 1 ] = 1 2 [ 4 ? 1 ? 2 1 ] A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} A?1=det(A)1?[4?2??11?]=21?[4?2??11?]

  3. 矩陣乘法
    [ x y ] = 1 2 [ 4 ? 1 ? 2 1 ] [ 35 94 ] = [ 4 × 35 ? 1 × 94 2 ? 2 × 35 + 1 × 94 2 ] = [ 23 12 ] \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4 \times 35 - 1 \times 94}{2} \\ \frac{-2 \times 35 + 1 \times 94}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 \\ 12 \end{bmatrix} [xy?]=21?[4?2??11?][3594?]=[24×35?1×94?2?2×35+1×94??]=[2312?]

意義:通過矩陣運算揭示變量間的線性關系,適用于高維復雜問題。


四、Excel計算法

操作步驟

  1. 輸入數據

    • 在單元格 A2:C3 輸入系數矩陣:

      1   1
      2   4
      

      在這里插入圖片描述

    • 在單元格 D2:D3 輸入常數項:

      35
      94
      

      在這里插入圖片描述

  2. 計算逆矩陣

    • 選中 E1:F2,輸入公式:

      =MINVERSE(B2:C3)    
      

      在這里插入圖片描述

      Ctrl+Shift+Enter 以數組公式計算。

  3. 矩陣乘法求結果

    • 選中 G1:G2,輸入公式:

      =MMULT(B7:C8,E7:E8)  
      

      在這里插入圖片描述

      Ctrl+Shift+Enter,得到結果 [23; 12]


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