代數基本定理

多項式 $f(z)=a_n{z}^n+a_{n?1}{z}^{n?1}+?+a_{1}z+a_0$（其中 $n>1$ 且 $a_n,a_0\ne 0$）在復數域內有根。

約定

以 $t$ 為參數的閉曲線

$${\Gamma }_t=f(t{e}^{i\theta }),\theta \in [0,2\pi ],t\in [0,+\infty )$$

其中 ${\Gamma }_0\to a_0$。

閉曲線到點 $p$ 的距離

$$d({\Gamma }_t,p)=\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{\min }|f(t{e}^{i\theta })?p|$$

符號函數 $sign(t)$

$$sign(t)=?\begin{array}{ll}?1,& \text{原點在?}{\Gamma }_t\text{外部(與無窮遠處連通)}\\ 0,& \text{原點在?}{\Gamma }_t\text{?上}\\ 1,& \text{原點在?}{\Gamma }_t\text{?內部}\end{array}$$

介值函數

$$s(t)=sign(t)?d({\Gamma }_t,0)$$

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證明步驟

1. 多項式的性質

給定的多項式為：

$$f(z)=a_n{z}^n+a_{n?1}{z}^{n?1}+?+a_{1}z+a_0$$

其中 $n>1$ 且 $a_n,a_0\ne 0$。

2. $d({\Gamma }_t,0)$ 的連續性

• 多項式的連續性：由于 $f(z)$ 是多項式函數，它在復平面上是解析的，因此也是連續的。
• 最小值的連續性：由于 $f(t{e}^{i\theta })$ 關于 $(t,\theta )$ 是連續的，其模長 $|f(t{e}^{i\theta })|$ 也是連續的。因此，$d({\Gamma }_t,0)$ 作為 $|f(t{e}^{i\theta })|$ 在閉區間 $[0,2\pi ]$ 上的最小值，關于 $t$ 是連續的。

3. $s(t)$ 的連續性

• 符號函數的定義：$sign(t)$ 的定義基于原點與 ${\Gamma }_t$ 的相對位置。
• 連續性分析：當 $d({\Gamma }_t,0)=0$ 時，原點在 ${\Gamma }_t$ 上，此時 $sign(t)=0$，因此 $s(t)=0$。當 $d({\Gamma }_t,0)\ne 0$ 時，原點在 ${\Gamma }_t$ 的內部或外部，此時 $sign(t)$ 為 $?1$ 或 $1$。由于 $d({\Gamma }_t,0)$ 是連續的，且 $sign(t)$ 的變化發生在 $d({\Gamma }_t,0)=0$ 的點，因此 $s(t)$ 是連續的。

4. $s(0)$ 的值

• 當 $t=0$ 時，${\Gamma }_0=f(0)=a_0$，因此：
  $$d({\Gamma }_0,0)=|a_0|$$
• 由于 ${\Gamma }_0$ 是一個點，且 $|a_0|\ne 0$，因此原點在 ${\Gamma }_0$ 的外部，所以 $sign(0)=?1$。
• 因此：
  $$s(0)=sign(0)?d({\Gamma }_0,0)=?|a_0|$$

5. $s(t)$ 在 $t\to +\infty$ 時的行為

• 當 $t\to +\infty$ 時，多項式 $f(z)$ 的主導項是 $a_n{z}^n$，因此：
  $$f(t{e}^{i\theta })\approx a_n(t{e}^{i\theta }{)}^n=a_n{t}^n{e}^{in\theta }$$
• 從而：
  $$|f(t{e}^{i\theta })|\approx |a_n|t^n$$
• 由于 $n>1$，當 $t\to +\infty$ 時，$|a_n|t^n\to +\infty$。
• 因此：
  $$d({\Gamma }_t,0)\to +\infty \text{當}t\to +\infty$$
• 由于 ${\Gamma }_t$ 在 $t\to +\infty$ 時遠離原點，因此 $sign(t)=1$。
• 因此：
  $$s(t)\to +\infty \text{當}t\to +\infty$$

6. 介值定理的應用

• 由于 $s(t)$ 是連續函數，且 $s(0)=?|a_0|<0$，$s(t)\to +\infty$ 當 $t\to +\infty$，根據介值定理，必然存在某個 $t_m\in (0,+\infty )$ 使得：
  $$s(t_m)=0$$

7. 結論

• 由于 $s(t_m)=0$，這意味著在半徑為 $t_m$ 的圓上，存在某個 $z_m=t_m{e}^{i{\theta }_m}$ 使得 $f(z_m)=0$。