本文涉及知識點

C++并集查找

P2391 白雪皚皚

題目背景

“柴門聞犬吠，風雪夜歸人”，冬天，不期而至。千里冰封，萬里雪飄。空中刮起了鴨毛大雪。雪花紛紛，降落人間。 美能量星球（pty 在 spore 上的一個殖民地）上的人們被這美景所震撼。但是 pty 卻不高興，他不喜歡白色的世界，他覺得這樣太單調了。所以他想對雪花進行染色，讓世界變得多彩些。

題目描述

現在有 $n$ 片雪花排成一列。 pty 要對雪花進行 $m$ 次染色操作，第 $i$ 次染色操作中，把第 $((i\times p+q)\mathrm{mod}n)+1$ 片雪花和第 $((i\times q+p)\mathrm{mod}n)+1$ 片雪花之間的雪花（包括端點）染成顏色 $i$。其中 $p,q$ 是給定的兩個正整數。他想知道最后 $n$ 片雪花被染成了什么顏色。沒有被染色輸出 $0$。

輸入格式

輸入共四行，每行一個整數，分別為 $n,m,p,q$，意義如題中所述。

輸出格式

輸出共 $n$ 行，每行一個整數，第 $i$ 行表示第 $i$ 片雪花的顏色。

輸入輸出樣例 #1

輸入 #1

4
3
2
4

輸出 #1

2
2
3
0

說明/提示

• 對于 $20\%$ 的數據滿足：$n,m\le 1000$。
• 對于 $40\%$ 的數據滿足：$n\le 8000$，$m\le 10^6$。
• 對于 $80\%$ 的數據滿足：$n\le 5\times 10^5$，$m\le 10^7$。
• 對于 $100\%$ 的數據滿足：$1\le n\le 10^6$，$1\le m\le 10^7$。

保證 $1\le m\times p+q,m\times q+p\le 2\times 10^9$。

逆向思考 并集查找

多次染色，以最后一次為準。逆序思考，染色后刪除。用有序集合記錄未被刪除的下標。
時間復雜度：O(Mlogn) 超時
如果i沒有被刪除，則par[i]=i，否則par[i]=i+1，增加虛擬節點N。
i是定值,$j>i$且j最小，j未被刪除。則:
$i\to i+1\to i+2?j?1\to j$
$?k,i\ge k<j$k的根都是j，第一個未被刪除的節點。

實現

刪除[left,r]
如果$left>r$，交換之。
如果left未染色，染色。
left = root(left)
當 $left\le r$ 染色 left = root(left)
用并集查找實現，時間復雜度:近似O(M)

代碼

核心代碼

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格換行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格換行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出錯			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class CUnionFindDirect
{
public:CUnionFindDirect(int iSize){m_vRoot.resize(iSize);iota(m_vRoot.begin(), m_vRoot.end(), 0);}void Connect(bool& bConflic, bool& bCyc, int iFrom, int iTo){bConflic = bCyc = false;if (iFrom != m_vRoot[iFrom]){bConflic = true;}Fresh(iTo);if (m_vRoot[iTo] == iFrom){bCyc = true;}if (bConflic || bCyc){return;}m_vRoot[iFrom] = m_vRoot[iTo];}int GetMaxDest(int iFrom){Fresh(iFrom);return m_vRoot[iFrom];}
private:int Fresh(int iNode){if (m_vRoot[iNode] == iNode){return iNode;}return m_vRoot[iNode] = Fresh(m_vRoot[iNode]);}vector<int> m_vRoot;
};
class Solution {
public:vector<int> Ans(const int N, const int M, const int P, const int Q) {vector<int> ans(N);CUnionFindDirect uf(N + 1);for (int i = M; i >= 1; i--) {int left = (i * P + Q) % N;int r = (i * Q + P) % N;if (left > r) { swap(left, r); }if (0 == ans[left]) {ans[left] = i;bool b;uf.Connect(b, b, left, left + 1);}left = uf.GetMaxDest(left);while (left <= r) {ans[left] = i;bool b;uf.Connect(b, b, left, left + 1);left = uf.GetMaxDest(left);}}return ans;}
};
int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);int N,M,P,Q;cin >> N >> M >> P >> Q;	
#ifdef _DEBUGprintf("N=%d,M=%d,P=%d,Q=%d", N,M,P,Q);//Out(edge, ",=edge");//Out(que, ",=que");
#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(N,M,P,Q);for (const auto& i : res) {cout << i << "\n";}return 0;
}

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擴展閱讀

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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

測試環境

操作系統：win7 開發環境： VS2019 C++17
或者 操作系統：win10 開發環境： VS2022 C++17
如無特殊說明，本算法用**C++**實現。