題目

問題 10.
(a) 考慮熱傳導方程在 $$J=(?\infty ,\infty )$$ 上，證明“能量”
$$E(t)={\int }_J{u}^2(x,t)dx$$
(8)
不增加；進一步證明，除非 $$u(x,t)=\text{常數}$$，否則它確實減少。

(b) 考慮熱傳導方程在 $$J=(0,l)$$ 上，帶有 Dirichlet 或 Neumann 邊界條件，證明 $$E(t)$$ 不增加；進一步證明，除非 $$u(x,t)=\text{常數}$$，否則它確實減少。

? 考慮熱傳導方程在 $$J=(0,l)$$ 上，帶有 Robin 邊界條件：
$$u_x(0,t)?a_{0}u(0,t)=0,$$
$$u_x(L,t)+a_{L}u(L,t)=0.$$
(9)
如果 $$a_0>0$$ 和 $$a_L>0$$（注：原文中 $$a_l$$ 應為 $$a_L$$，已修正），證明端點對 $$E(t)={\int }_0^L{u}^2(x,t)dx$$ 的減少有貢獻。這被解釋為部分能量在邊界處損失，因此我們稱邊界條件為輻射或耗散的。

提示. 為了證明 $$E(t)$$ 的減少，考慮其對 $$t$$ 的導數，用 $$k{u}_{xx}$$ 替換 $$u_t$$，并進行分部積分。

備注 3.P.1. 在熱傳導（或擴散）方程的情況下，由 (8) 給出的能量更多是數學上的構造。

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解決題目

熱傳導方程的標準形式為：
$$u_t=k{u}_{xx},$$
其中 $$k>0$$ 是熱擴散系數（常數）。能量泛函定義為：
$$E(t)={\int }_J{u}^2(x,t)dx,$$
其中 $$J$$ 是定義域。證明的核心是計算 $$\frac{dE}{dt}$$ 并利用熱傳導方程和邊界條件。

(a) 無限域 $$J=(?\infty ,\infty )$$

證明：
計算 $$E(t)$$ 的時間導數：
$$\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}{\int }_{?\infty }^{\infty }{u}^2(x,t)dx.$$
假設 $$u$$ 足夠光滑，且當 $$|x|\to \infty$$ 時，$$u$$ 及其一階導數趨于零（物理上合理的衰減條件），因此可以交換積分與導數順序：
$$\frac{dE}{dt}={\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{?}{?t}(u^2)dx={\int }_{?\infty }^{\infty }2u{u}_{t}dx.$$
由熱傳導方程 $$u_t=k{u}_{xx}$$，代入得：
$$\frac{dE}{dt}=2k{\int }_{?\infty }^{\infty }u{u}_{xx}dx.$$
對積分進行分部積分：令 $$f=u$$, $$g^{\prime }=u_{xx}$$，則 $$f^{\prime }=u_x$$, $$g=u_x$$，
$${\int }_{?\infty }^{\infty }u{u}_{xx}$$