線性變換之維數公式(秩-零化度定理)

秩數-零化度定理(rank-nullity theorem)

1. ? (映射)零空間(線性映射或變換的核)(null-space或nullspace)

2. ? 跨度(或開度)(span)

3. ? (線性映射的)零化度(nullity)

4. ? 線性變換的維數公式(秩數-零化度定理)(rank-nullity theorem)

5. ?函數的上域(codomain)

1. ? (映射)零空間(線性映射或變換的核)(null-space或nullspace)

?? 與行空間和列空間一樣，矩陣的映射零空間是矩陣中的另一個基本空間，是所有在對其應用變換后結果為零的這些向量的集合。

(映射)零空間(null-space)定義: 一個 m?×n ?矩陣A 是滿足(齊性方程) AX = 0 的所有方程解的集合，它是? $\mathbb{R}^{n}$ ?( n 維實坐標向量空間) 的子空間。如果用 Nul A 表示零空間，則零空間可以用集合表示為

$\text{Nul}\;A = \{ X\in \mathbb{R}^{n} | AX = 0 \}$ ???。映射零空間又稱為線性映射的核(kernel),因為其決定了這個線性映射的性質。

例1：

? $A = \begin{bmatrix} 1&0&3&5 \\0&1&4&6 \end{bmatrix}$ ? ?對應齊性(所有項都含有待解未知數這個共同屬性)線性方程組

$\begin{bmatrix} 1&0&3&5 \\0&1&4&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \\x_{3}\\x_{4} \end{bmatrix}=0$ ? 。

不難求得其兩個“特解”，其中，? $x_{3}$ ? 和? $x_{4}$ ??為 1 和 0 或 0 和 1 。

設??? $x_{3}=1$ ? 和? $x_{4}=0$ ???，方程1 得到? $x_{1}=-3$ ?，方程 2 得到? $x_{2}=-4$ ? 。

設?? $x_{3}=0$ ??和?? $x_{4}=1$ ? ，方程1 得到?? $x_{1}=-5$ ??，方程 2 得到? $x_{2}=-6$ ?。

這兩個特解(special solution)? $s_{1} = (-3,-4,1,0)$ ??和? $s_{2} = (-5,-6,1,0)$ ??位于 A 的零空間中。因為? $As_{1} = 0$ ?和? $As_{2} = 0$ ??。 這兩個解的任意線性組合也位于矩陣A 的零空間中。矩陣 A? 乘以向量? $x= c_{1} s_{1} + c_{2}s_{2}$ ??產生0 。因此，這兩個解向量?? $s_{1}$ ? 和?? $s_{2}$ ??零空間的一個基(由兩個線性無關的向量組成)。

2. ? 跨度(或開度)(span)

(注：span在用作動詞時表示“張成，生成”，用作名詞時表示“開度，跨度”。)

??? 跨度(span)描述的是某些已知向量的線性組合可達的空間。在線性代數中，向量集的跨度是這些向量所有可能的線性組合的集合。在本質上，它是這些向量通過縮放和加法可以到達的“空間”。如果你取某個向量集的所有可能的線性組合，最終得到的向量集就集合這個集合的跨度。理解跨度對于掌握線性代數中更高級的概念(例如線性獨立性、基和子空間)至關重要。

線性跨度之定義：令 S 為一個線性空間，并令? $x_{1} ,..., x_{n} \in S$ ?為 n 個向量，則向量 ?? $x_{1} ,..., x_{n}$ ?的線性跨度?? $\text{span}(x_{1} ,..., x_{n})$ ??為所有線性組合 ? $x = a_{1} x_{1} + ...+ a_{n} x_{n}$ ??的集合，可以通過任意選 n 個標量? $a_{1} ,..., a_{n}$ ??獲得。

例如：

(1) 如果平面上有兩個不平行的向量，則它們的跨度就是整個平面。

(2) 如果有兩個平行的向量，它們的跨度就是一條線。

(3) 在三維空間中，如果有三個不共面的向量(不都位于同一平面上)，它們的跨度就是整個三維空間。

(4) 令?? $x_{1}$ ? 和?? $x_{2}$ ? 分為 2 × 1 例向量

$x_{1} = \begin {bmatrix} 1\\0 \end {bmatrix}$ ? ?和??? $x_{2} = \begin {bmatrix} 0\\1 \end {bmatrix}$ ? 。

令 x? 為?? $x_{1}$ ? 和? $x_{2}$ ??的線性組合，其分別具有系數? $a_{1}$ ? 和? $a_{2}$ ?。則

$x = a_{1} x_{1} + a_{n} x_{n}=\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}$ ? 。

因此，向量? $x_{1}$ ? ?和? ? $x_{2}$ ??的線性跨度是所有可以寫成? ?

$\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}$ ? ?

形式的向量 x ，其中， $a_{1}$ ? 和? ? $a_{2}$ ??是任意兩個標量。

3. ? (線性映射的)零化度(nullity)

??? 矩陣的零化度是其(映射)零空間(或核)的維數，零空間是所有與矩陣相乘后結果為零向量的向量之集合(也可以說是所有齊性線性方程組的解之集合)。簡單來說，它是矩陣解空間中自由變量的數量。零化度也等于矩陣的列數減去其秩數。

4. ? 線性變換的維數公式(秩數-零化度定理)(rank-nullity theorem)

定理 (維數公式): 令?T:V ? W ?為一個線性變換，則

dim(ker T ) + dim(im T ) = dim(V )??。

一個線性變換 T 的零化度(nullity)和秩(數)(rank，或階數)分別是其核和像的維數，一個矩陣A 的零化度和秩按類似方式定義。

??? 在本質上，該公式告訴我們(定義)域(domain)的維數是如何在通過變換而“丟失”(映射到零)的向量(解向量，即零化度)和“保留”(映射到上域(codomain)中的其他向量)的向量之間分布的(維數如何在“丟夫”的向量和保留的向量之間分布)。

??? 例如，如果線性變換將 5 維向量空間映射到另一個空間，并且核(解的基向量數)的維數為 2(“丟失”的部分)，則其像(保留的部分)的維數一定為 3(5 - 2 = 3)。

5. ?函數的上域(codomain)

??? 在數學中，函數(映射)的上域(codomain)或目標集是指函數的所有輸出都被約束到的集合(比如，實數域，但并不等于函數都能達到每一個實數)。在符號 f: X → Y 中，它就是集合 Y。術語“值域(range)”有時會被混淆地用來指代函數的上域或像。如圖所示：

在圖中，f 是從定義域(domain)(圖中紅色區域所示)到上域(圖中藍色區域) Y 的映射，Y中更小的黃色橢圓形區域是函數的像。

??? 例如：

函數 f?: ? ? ?? 定義為?? $f: x \mapsto x^{2}$ ??或其等價形式? ?? $f(x)=x^{2}$ ??，f 的上域是 ? ，但 f 不映射到任何負值，因此 f? 的像是?? $\mathbb{R}_{0}^{+\infty}$ ??，即 [0, +∞] 。

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