題目描述

給出3組點坐標(x, y, w, h)，-1000<x,y<1000，w,h為正整數。

(x, y, w, h)表示平面直角坐標系中的一個矩形：

x, y為矩形左上角坐標點，w, h向右w，向下h。

(x, y, w, h)表示x軸(x, x+w)和y軸(y, y-h)圍成的矩形區域；

(0, 0, 2, 2)表示 x軸(0, 2)和y 軸(0, -2)圍成的矩形區域；

(3, 5, 4, 6)表示x軸(3, 7)和y軸(5, -1)圍成的矩形區域；

求3組坐標構成的矩形區域重合部分的面積。

輸入描述
3行輸入分別為3個矩形的位置，分別代表“左上角x坐標”，“左上角y坐標”，“矩形寬”，“矩形高” -1000 <= x,y < 1000

輸出描述
輸出3個矩形相交的面積，不相交的輸出0。

用例
輸入

1 6 4 4
3 5 3 4
0 3 7 3

輸出

2

說明

矩形重疊面積計算算法詳解

核心解題思路

本題目要求計算三個矩形重合部分的面積。核心思路是通過分析矩形在x軸和y軸上的投影，確定三個矩形共同重疊的區域。解題步驟如下：

關鍵步驟

1. 矩形坐標轉換：

   • 每個矩形由左上角坐標(x,y)、寬度w、高度h定義
   • x軸投影：左邊界x，右邊界x + w
   • y軸投影：由于坐標系向下為負，上邊界y，下邊界y - h

2. 重疊區域確定：

   • x軸重疊：取三個矩形左邊界最大值作為重疊左邊界，右邊界最小值作為重疊右邊界
   • y軸重疊：取三個矩形上邊界最小值作為重疊上邊界，下邊界最大值作為重疊下邊界
   • 重疊寬度：重疊右邊界 - 重疊左邊界
   • 重疊高度：重疊上邊界 - 重疊下邊界

3. 面積計算：

   • 當重疊寬度和高度都為正時，面積 = 寬度 × 高度
   • 否則面積為0

完整代碼實現

def main():# 讀取三個矩形的參數rects = []for _ in range(3):data = input().split()# 轉換為浮點數處理（題目整數但為統一接口）x = float(data[0])y = float(data[1])w = float(data[2])h = float(data[3])rects.append((x, y, w, h))# 計算三個矩形的x軸重疊區域left_bound = max(rects[0][0], rects[1][0], rects[2][0])right_bound = min(rects[0][0] + rects[0][2], rects[1][0] + rects[1][2], rects[2][0] + rects[2][2])# 計算三個矩形的y軸重疊區域top_bound = min(rects[0][1], rects[1][1], rects[2][1])bottom_bound = max(rects[0][1] - rects[0][3],rects[1][1] - rects[1][3],rects[2][1] - rects[2][3])# 計算重疊區域的寬度和高度width = right_bound - left_boundheight = top_bound - bottom_bound# 計算重疊面積（當寬度和高度都為正時）if width > 0 and height > 0:area = width * heightelse:area = 0# 輸出整數部分（題目要求整數）print(int(area))if __name__ == "__main__":main()

算法原理解析

1. 矩形投影原理

# 矩形在x軸投影：[x, x + w]
# 矩形在y軸投影：[y - h, y]

• x軸：從左邊界x到右邊界x+w
• y軸：從下邊界y-h到上邊界y（注意坐標系向下為負）

2. 重疊區域計算

# x軸重疊
left_bound = max(rect1_x, rect2_x, rect3_x)
right_bound = min(rect1_x + w1, rect2_x + w2, rect3_x + w3)# y軸重疊
top_bound = min(rect1_y, rect2_y, rect3_y)
bottom_bound = max(rect1_y - h1, rect2_y - h2, rect3_y - h3)

• 左邊界：取三個矩形左邊界最大值（最右邊的左邊界）
• 右邊界：取三個矩形右邊界最小值（最左邊的右邊界）
• 上邊界：取三個矩形上邊界最小值（最靠下的上邊界）
• 下邊界：取三個矩形下邊界最大值（最靠上的下邊界）

3. 面積計算邏輯

width = right_bound - left_bound
height = top_bound - bottom_bound
if width > 0 and height > 0:area = width * height
else:area = 0

• 有效性檢查：寬度和高度必須為正才有重疊
• 整數輸出：題目要求輸出整數部分

示例解析

示例輸入：

1 6 4 4
3 5 3 4
0 3 7 3

步驟解析：

1. 矩形1：x=1, y=6, w=4, h=4

   • x軸：[1, 5]
   • y軸：[6-4, 6] = [2, 6]

2. 矩形2：x=3, y=5, w=3, h=4

   • x軸：[3, 6]
   • y軸：[5-4, 5] = [1, 5]

3. 矩形3：x=0, y=3, w=7, h=3

   • x軸：[0, 7]
   • y軸：[3-3, 3] = [0, 3]

4. 重疊區域計算：

   • x軸：左邊界 = max(1, 3, 0) = 3
     右邊界 = min(5, 6, 7) = 5
     寬度 = 5 - 3 = 2

   • y軸：上邊界 = min(6, 5, 3) = 3
     下邊界 = max(2, 1, 0) = 2
     高度 = 3 - 2 = 1

5. 面積：2 × 1 = 2

輸出：2

邊界情況測試

測試1：完全重疊

輸入：
0 10 10 10
0 10 10 10
0 10 10 10計算：
x軸：max(0,0,0)=0, min(10,10,10)=10 → 寬度=10
y軸：min(10,10,10)=10, max(0,0,0)=0 → 高度=10
面積=100

測試2：部分重疊

輸入：
1 5 4 5
2 6 4 4
3 4 5 6計算：
矩形1：x[1,5], y[0,5]
矩形2：x[2,6], y[2,6]
矩形3：x[3,8], y[-2,4]x軸：max(1,2,3)=3, min(5,6,8)=5 → 寬度=2
y軸：min(5,6,4)=4, max(0,2,-2)=2 → 高度=2
面積=4

測試3：無重疊

輸入：
0 10 2 2
3 8 2 2
5 5 2 2計算：
x軸：max(0,3,5)=5, min(2,5,7)=2 （5>2）
寬度=2-5=-3 → 無效
面積=0

總結與擴展

關鍵知識點

1. 矩形表示：理解坐標系中矩形的數學表示
2. 投影分析：將二維問題分解為兩個一維問題
3. 邊界計算：最大值最小值確定重疊區域
4. 有效性檢查：處理無重疊情況

擴展思考

1. 非軸對齊矩形：

   # 使用旋轉矩陣處理旋轉的矩形
   def rotate_rect(rect, angle):# 計算旋轉后的頂點# 使用分離軸定理檢測重疊
   

2. 三維空間重疊：

   def clip_cuboids(cuboids):# 在x,y,z三個維度分別計算# 計算體積而非面積
   

3. 部分重疊閾值：

   def clip_with_threshold(rects, threshold=0.5):# 計算重疊面積與總面積的比例# 返回滿足閾值的重疊區域
   

4. 漸進式計算：

   class OverlapCalculator:def __init__(self):self.left = -float('inf')self.right = float('inf')self.top = float('inf')self.bottom = -float('inf')def add_rect(self, x, y, w, h):self.left = max(self.left, x)self.right = min(self.right, x + w)self.top = min(self.top, y)self.bottom = max(self.bottom, y - h)return self.get_overlap()def get_overlap(self):width = self.right - self.leftheight = self.top - self.bottomif width > 0 and height > 0:return width * heightreturn 0
   

核心啟示：通過將復雜問題分解為簡單維度，利用邊界值分析確定交集，本算法高效解決了多矩形重疊面積計算問題。這種"分而治之"的思路是解決復雜幾何問題的核心策略。

初學者可從中學習：

1. 空間問題的降維處理技巧
2. 邊界值分析的數學方法
3. 算法效率與簡潔性的平衡
4. 實際問題的數學模型構建
5. 算法擴展與適用性分析能力