題目
問題 2. (a)
u t + 3 u x ? 2 u y = x ; u t + x u x + y u y = x ; u_t + 3u_x - 2u_y = x; \quad u_t + xu_x + yu_y = x; ut?+3ux??2uy?=x;ut?+xux?+yuy?=x;
u t + x u x ? y u y = x ; u t + y u x + x u y = x ; u_t + xu_x - yu_y = x; \quad u_t + yu_x + xu_y = x; ut?+xux??yuy?=x;ut?+yux?+xuy?=x;
u t + y u x ? x u y = x . u_t + yu_x - xu_y = x. ut?+yux??xuy?=x.
(b) 求解初值問題 u ( x , y , 0 ) = 0 u(x, y, 0) = 0 u(x,y,0)=0.
解決題目
問題要求求解五個一階線性偏微分方程的初值問題（IVP），初始條件均為 u ( x , y , 0 ) = 0 u(x, y, 0) = 0 u(x,y,0)=0。每個方程的形式為 u t + a u x + b u y = f u_t + a u_x + b u_y = f ut?+aux?+buy?=f，其中 a a a 和 b b b 可能是常數或函數， f = x f = x f=x。使用特征線法（method of characteristics）求解，沿特征線求解常微分方程組，并代入初始條件。
以下是每個方程的解，已驗證滿足原方程和初始條件 u ( x , y , 0 ) = 0 u(x, y, 0) = 0 u(x,y,0)=0。解以 x , y , t x, y, t x,y,t 表示。
(1) 方程 u t + 3 u x ? 2 u y = x u_t + 3u_x - 2u_y = x ut?+3ux??2uy?=x
- 解： u ( x , y , t ) = x t ? 3 2 t 2 u(x, y, t) = x t - \frac{3}{2} t^2 u(x,y,t)=xt?23?t2
- 驗證：
- u t = x ? 3 t u_t = x - 3t ut?=x?3t, u x = t u_x = t ux?=t, u y = 0 u_y = 0 uy?=0
- 左邊： u t + 3 u x ? 2 u y = ( x ? 3 t ) + 3 ( t ) ? 2 ( 0 ) = x u_t + 3u_x - 2u_y = (x - 3t) + 3(t) - 2(0) = x ut?
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