調和級數的斂散性是一個非常經典的問題。我們來全面分析它。

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🧠 調和級數定義

調和級數是指：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+?$$

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? 問題：這個級數收斂還是發散？

答案是：

調和級數發散。

盡管它的項 $\frac{1}{n}\to 0$，但趨于 0 的速度太慢，無法使級數收斂。

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? 證明一：分組比較法（經典簡單）

我們用分組法來估算其部分和下界：

$$\begin{array}{rl}S& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+?+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+?+\frac{1}{16}\right)+?\\ & >1+\frac{1}{2}+2?\frac{1}{4}+4?\frac{1}{8}+8?\frac{1}{16}+?\\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+?\end{array}$$

每一組和都大于 $\frac{1}{2}$，而這樣的組有無窮多組，所以：

$$S\to \infty ?\text{調和級數發散}$$

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? 證明二：與積分比較

我們比較：

$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n}\text{與}{\int }_2^{\infty }\frac{1}{x}dx$$

由于 $\frac{1}{x}$ 是單調遞減的正函數，我們可以使用積分判別法：

$${\int }_2^{\infty }\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_2^{\infty }=\infty ?\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n}\text{?也發散}$$

所以調和級數發散。

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🚧 常見誤區提醒

• 有人會以為 “項趨于 0 就收斂” —— ? 錯的。
• 要收斂，必須項趨于 0 且趨近得夠快。
• 比如 $\sum \frac{1}{n^2}$ 就收斂，因為趨近更快。

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? 總結

級數形式	斂散性
$\sum \frac{1}{n}$	發散（調和級數）
$\sum \frac{1}{n^p},p>1$	收斂
$\sum \frac{1}{n^p},p\le 1$	發散

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如果你想看 變種調和級數（例如交錯調和級數） 是否收斂，我也可以繼續講。是否需要？